Determine os limites se existirem:
lim x +infty x^2+48^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyx^2+48^x
Aqui o conteúdo é comparação entre crescimento polinomial e exponencial: sabemos que funções exponenciais do tipo a^x (com a>1) crescem muito mais rápido que qualquer polinômio. Para formalizar, podemos usar a Regra de L’Hôpital, já que ao avaliar diretamente temos a forma tfracinftyinfty.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
x^2+4to+infty, 8^xto+infty
Logo aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x, obtemos
limxto+inftyx^2+48^x =limxto+infty(x^2+4)'(8^x)' =limxto+infty2x8^xln 8

Passo 3

Ainda temos a forma tfracinftyinfty, então aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
limxto+infty2x8^xln 8 =limxto+infty(2x)'(8^xln 8)' =limxto+infty28^x(ln 8)^2

Passo 4

Agora 8^xto+infty, então o denominador vai a infinito e
28^x(ln 8)^2to0
Pelo que, pela regra de L’Hôpital, o limite original também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados