Verifique se a série abaixo converge ou diverge e determine seu valor se possível.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge, e, se possível, descobrir o valor dela. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e técnicas de soma de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. A ideia aqui é quebrar essa fração em uma soma de frações mais simples usando frações parciais. Isso facilita a identificação de possíveis termos que se cancelam quando somamos a série.
Passo 3
A gente supõe que podemos escrever
como
. Agora, vamos encontrar os valores de
e
.
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo:
- Se
, então :
- Se
, então :
Então,
e
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Isso significa que a série original pode ser reescrita como:
Passo 5
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somamos os termos consecutivos. Vamos escrever alguns termos para ver isso:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 6
Vemos que
cancela com
,
com
, e isso continua ad infinitamente. O que sobra é apenas o primeiro termo que não é cancelado:
Como os demais termos são cancelados, a soma da série é igual a
.
Resposta
A série
converge e seu valor é
.