Verifique se a série abaixo converge ou diverge e determine seu valor se possível.
sumn=1^infty-2(2 n+5)(2 n+3)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a série
sumn=1^infty-2(2 n+5)(2 n+3)
converge ou diverge, e, se possível, descobrir o valor dela. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e técnicas de soma de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: -2(2n+5)(2n+3). A ideia aqui é quebrar essa fração em uma soma de frações mais simples usando frações parciais. Isso facilita a identificação de possíveis termos que se cancelam quando somamos a série.

Passo 3

A gente supõe que podemos escrever -2(2n+5)(2n+3) como A2n+3 + B2n+5. Agora, vamos encontrar os valores de A e B.
Multiplicando ambos os lados por (2n+5)(2n+3), temos:
-2 = A(2n+5) + B(2n+3)
Agora, vamos escolher valores de n que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se 2n + 3 = 0, então n = -32:
-2 = A(2(-32) + 5) + B(0) Rightarrow -2 = A(-3 + 5) Rightarrow -2 = 2A Rightarrow A = -1
  • Se 2n + 5 = 0, então n = -52:
-2 = A(0) + B(2(-52) + 3) Rightarrow -2 = B(-5 + 3) Rightarrow -2 = -2B Rightarrow B = 1
Então, A = -1 e B = 1.

Passo 4

Agora, substituímos A e B na expressão das frações parciais:
-2(2n+5)(2n+3) = -12n+3 + 12n+5
Isso significa que a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^infty ( -12n+3 + 12n+5 )

Passo 5

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos vão se cancelar quando somamos os termos consecutivos. Vamos escrever alguns termos para ver isso:
Para n=1:
-12(1)+3 + 12(1)+5 = -15 + 17
Para n=2:
-17 + 19
Para n=3:
-19 + 111
E assim por diante.

Passo 6

Vemos que 17 cancela com -17, 19 com -19, e isso continua ad infinitamente. O que sobra é apenas o primeiro termo que não é cancelado:
-15
Como os demais termos são cancelados, a soma da série é igual a -15.

Resposta

A série sumn=1^infty-2(2 n+5)(2 n+3) converge e seu valor é -15.

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