7-) Suponhamos que as preferências sejam côncavas. O efeito substituição continuará negativo?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se as preferências forem côncavas, o efeito substituição continuará negativo?” Aqui o conteúdo é microeconomia geral, em particular a propriedade de que, com preferências convexas (função-utilidade concava), a variação compensada da demanda em função do preço próprio é não-positiva. Vamos usar a definição da função-gasto, a concavidade em preços e a Lema de Shephard para mostrar que o efeito substituição é <=0.

Passo 2

Quando a utilidade u(x) é concava em x, para todo nível bar u o conjunto
xmid u(x)>=bar u
é convexo. Isso significa que as preferências são convexas, ou seja, o consumidor prefere combinações intermediárias de cestas que proporcionem a mesma utilidade.

Passo 3

Definimos a função-gasto
e(p,u);=;minx,pcdot xmid u(x)>= u,
onde p é o vetor de preços. Como estamos minimizando uma função linear sobre um conjunto convexo, e(p,u) é concava em p. Logo, para quaisquer p^1,p^2 e tin[0,1] vale
el(tp^1+(1-t)p^2,ur);>=;t,e(p^1,u)+(1-t),e(p^2,u)
A concavidade em p implica que a matriz Hessiana l[partial^2e/partial pipartial pjr] é semidefinida negativa.

Passo 4

Pelo Lema de Shephard temos a demanda compensada (Hicksiana)
hi(p,u);=;partial e(p,u)partial pi
As derivadas segundas formam o chamado matriz de substituição compensada
partial hipartial pj =partial^2epartial pipartial pj,
que é simétrica e semidefinida negativa. Em particular, no caso do próprio preço ( i=j)
partial hipartial pi;<=;0
Isso mostra que, para cada bem i, a demanda compensada não aumenta quando seu preço sobe.

Resposta

Sim. Se as preferências são côncavas, a função-gasto é concava em preços e, pelo Lema de Shephard, a derivada da demanda compensada em relação ao próprio preço satisfaz
partial hipartial pi<=0,
ou seja, o efeito substituição continua negativo.

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