7-) Suponhamos que as preferências sejam côncavas. O efeito substituição continuará negativo?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Se as preferências forem côncavas, o efeito substituição continuará negativo?” Aqui o conteúdo é microeconomia geral, em particular a propriedade de que, com preferências convexas (função-utilidade concava), a variação compensada da demanda em função do preço próprio é não-positiva. Vamos usar a definição da função-gasto, a concavidade em preços e a Lema de Shephard para mostrar que o efeito substituição é
.
Passo 2
Quando a utilidade
é concava em
, para todo nível
o conjunto
é convexo. Isso significa que as preferências são convexas, ou seja, o consumidor prefere combinações intermediárias de cestas que proporcionem a mesma utilidade.
Passo 3
Definimos a função-gasto
onde
é o vetor de preços. Como estamos minimizando uma função linear sobre um conjunto convexo,
é concava em
. Logo, para quaisquer
e
vale
A concavidade em
implica que a matriz Hessiana
é semidefinida negativa.
Passo 4
Pelo Lema de Shephard temos a demanda compensada (Hicksiana)
As derivadas segundas formam o chamado matriz de substituição compensada
que é simétrica e semidefinida negativa. Em particular, no caso do próprio preço (
)
Isso mostra que, para cada bem
, a demanda compensada não aumenta quando seu preço sobe.
Resposta
Sim. Se as preferências são côncavas, a função-gasto é concava em preços e, pelo Lema de Shephard, a derivada da demanda compensada em relação ao próprio preço satisfaz
ou seja, o efeito substituição continua negativo.