Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique. Se for falsa dê um contraexemplo.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos pede para decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é limites de função e o que essa definição exige da função em torno de
.
Passo 2
Lembrando a definição de limite: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
Observe que essa condição fala apenas em valores de
para
diferentes de
; não impõe nenhuma restrição sobre o valor de
.
Passo 3
Como a definição de limite não exige que
esteja definida em
nem que
coincida com
, a afirmação é falsa.
Passo 4
Contraexemplo clássico: defina
Então, ao calcular o limite em
c=0 , para todo
xneq0 temos
f(x)=0 , logo
Entretanto
f(0)=1neq0 , mostrando que o valor de
f em
c pode ser diferente do limite.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo: a função
satisfaz
limxto0f(x)=0 mas
f(0)=1 .