Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique. Se for falsa dê um contraexemplo.
Se lim x c f(x)=L então f(c)=L.

Passo 1

O enunciado nos pede para decidir se a afirmação
limxto cf(x)=LLongrightarrow f(c)=L
é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é limites de função e o que essa definição exige da função em torno de x=c.

Passo 2

Lembrando a definição de limite: dizer que
limxto cf(x)=L
significa que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-c|<de<a, vale
|f(x)-L|<varepsilon
Observe que essa condição fala apenas em valores de f(x) para x diferentes de c; não impõe nenhuma restrição sobre o valor de f(c).

Passo 3

Como a definição de limite não exige que f esteja definida em c nem que f(c) coincida com L, a afirmação é falsa.

Passo 4

Contraexemplo clássico: defina
f(x)= 0, & xneq0, 1, & x=0
Então, ao calcular o limite em c=0, para todo xneq0 temos f(x)=0, logo
limxto0f(x)=0
Entretanto f(0)=1neq0, mostrando que o valor de f em c pode ser diferente do limite.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: a função
f(x)= 0,&xneq0, 1,&x=0
satisfaz limxto0f(x)=0 mas f(0)=1.

Exercícios relacionados