Esboce o domínio, as curvas de nível e o gráfico das funções abaixo.
f(x, y)=|x-y|

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente a função ;fcolonR^2toR dada por
f(x,y)=lvert x-yrvert
Vamos, primeiro, identificar o domínio; depois descrever e esboçar as curvas de nível; por fim, entender como é o gráfico 3D dessa função. O conteúdo principal é o valor absoluto em uma combinação linear de x e y e sua interpretação geométrica.

Passo 2

O domínio de f é todo o plano R^2, pois lvert x-yrvert está bem definido para qualquer par (x,y). Logo, ao esboçar o domínio, basta desenhar os eixos x e y e considerar o plano inteiro, sem restrição.

Passo 3

As curvas de nível de nível k>=0 são dadas por
lvert x-yrvert = k Long<=ftrightarrow x - y = k ou x - y = -,k
Isto significa que, para cada k>=0, temos duas retas paralelas de coeficiente angular 1:
reta 1: y = x - k, reta 2: y = x + k
No caso especial k=0, as duas equações coincidem em y=x. Portanto, as curvas de nível são uma família de retas paralelas à bissetriz y=x, afastadas dela de distância k/raiz2.

Passo 4

Para entender o gráfico em
Isto é, sobre a região , e sobre é o plano . Esses dois planos se encontram ao longo da reta de interseção , onde , formando uma “quina” ou “V” ao longo da linha no plano .

Resposta

Domínio: todo o plano R^2.
Curvas de nível de nível k>=0: retas y = x pm k.
Gráfico 3D: dois planos z = x - y (para x>= y) e z = y - x (para x<y) reunidos numa quina ao longo de x=y, onde z=0.

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