Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se uma sequência an diverge, então |an| também diverge;

Passo 1

O enunciado pergunta se “sempre que uma sequência diverge, a sequência dos seus valores absolutos também diverge”. O conteúdo aqui é noções de sequência, convergência/divergência e operação de valor absoluto. Lembrando que uma sequência an diverge se não existe limite finito limntoinftyan.

Passo 2

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar um contraexemplo: uma sequência que diverge mas cuja sequência de módulos converge.

Passo 3

Considere a sequência
an = (-1)^n
Essa sequência oscila entre -1 e 1, logo não tem limite quando ntoinfty. Portanto an diverge, pois
limntoinfty(-1)^n
não existe.

Passo 4

Por outro lado, o módulo dessa sequência é
|an| = |(-1)^n| = 1
para todo n. Assim a sequência |an| é constante igual a 1 e converge:
limntoinfty|an| = 1
Isso mostra que mesmo com an divergindo, a sequência |an| pode convergir.

Resposta

F

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