Sejam f: A subset R B subset R e g: C subset R D subset R. Determine o domínio, a imagem e a expressão que representa f circ g(x) e g circ f(x) :
f(x)=3 x-4 e g(x)=3 x+x^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio, a imagem e a expressão das composições de funções f e g, onde f(x)=3x-4 e g(x)=3x+x². O conteúdo é composição de funções e estudo de faixa de valores de parábolas, então vamos usar a definição de composição e o cálculo de vértice de quadráticas.

Passo 2

Para obter f∘g, substituímos g(x) em f: f(g(x)) = 3·g(x) − 4 = 3(3x + x²) − 4 = 3x² + 9x − 4. Como o domínio de g é ℝ e f aceita qualquer real, o domínio de f∘g também é ℝ.
Para encontrar a imagem de f∘g, consideramos a função h(x)=3x²+9x−4, que é uma parábola com a=3>0. O vértice ocorre em x_v = −b/(2a) = −9/(6) = −3/2. Substituindo em h:
hl(-tfrac32r)=3l(-tfrac32r)^2+9l(-tfrac32r)-4=tfrac274-tfrac272-4=-tfrac434
Logo, a imagem de f∘g é [-tfrac434,infty).

Passo 3

Para obter g∘f, substituímos f(x) em g: g(f(x)) = 3·f(x) + [f(x)]² = 3(3x−4) + (3x−4)² = 9x−12 + 9x²−24x+16 = 9x²−15x+4. Como f e g têm domínio ℝ, o domínio de g∘f também é ℝ.
Para encontrar a imagem de g∘f, analisamos k(x)=9x²−15x+4, também parábola com a=9>0. O vértice está em x_v = −b/(2a) = 15/(18) = 5/6. Substituindo:
kl(tfrac56r)=9l(tfrac56r)^2-15l(tfrac56r)+4=tfrac22536-tfrac756+4=-tfrac94
Portanto, a imagem de g∘f é [-tfrac94,infty).

Resposta

Dom(f∘g)=ℝ, f∘g(x)=3x²+9x−4 e Im(f∘g)=[−43/4,∞); Dom(g∘f)=ℝ, g∘f(x)=9x²−15x+4 e Im(g∘f)=[−9/4,∞).

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