Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinarmos o domínio
, a imagem
e esboçarmos o gráfico. O conteúdo necessário envolve entendimento de domínio de funções trigonométricas, amplitude, período, simetria da cossenoide e deslocamento horizontal.
Passo 2
Para o domínio, lembramos que a função
está definida para todo
. Como o argumento
não cria nenhuma restrição, temos
Passo 3
Para a imagem, a função
varia entre
e
, e aqui está multiplicada por
. Logo
Passo 4
Reescrevendo o argumento usando a paridade da cossenoide,
Dessa forma vemos:
- Amplitude
. - Período
. - Deslocamento horizontal dado pela solução de
, ou seja, ; é um deslocamento de unidades à direita.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, considere um bloco de comprimento
ao redor de
:
- Em
, o argumento é zero e , então . - Em
, o argumento é e , logo . - Em
, o argumento é e , logo . - Em
, volta a zero, etc.
Desenha-se, portanto, uma cossenoide de amplitude, período , cujo pico principal ocorre em , os zeros a cada depois desse ponto e o mínimo em , repetindo-se periodicamente.
Resposta
Gráfico: cossenoide de amplitude
, período
, deslocada
unidades à direita, com pontos-chave
,
,
, etc.