Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
& f: A subset R B subset R & x mapsto f(x)=y
y=3 cos (-2 x+5)

Passo 1

O enunciado pede para a função
fcolon AsubsetRto BsubsetR, f(x)=3cos(-2x+5)
determinarmos o domínio A, a imagem B e esboçarmos o gráfico. O conteúdo necessário envolve entendimento de domínio de funções trigonométricas, amplitude, período, simetria da cossenoide e deslocamento horizontal.

Passo 2

Para o domínio, lembramos que a função cos(t) está definida para todo tinR. Como o argumento -2x+5 não cria nenhuma restrição, temos
A=R

Passo 3

Para a imagem, a função cos varia entre -1 e 1, e aqui está multiplicada por 3. Logo
B=[-3,3]

Passo 4

Reescrevendo o argumento usando a paridade da cossenoide,
f(x)=3cos(-2x+5)=3cos(2x-5)
Dessa forma vemos:
  1. Amplitude =3.
  2. Período T=dfrac2pi2=pi.
  3. Deslocamento horizontal dado pela solução de 2x-5=0, ou seja, x=tfrac52; é um deslocamento de tfrac52 unidades à direita.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, considere um bloco de comprimento pi ao redor de x=tfrac52:
  • Em x=tfrac52, o argumento é zero e cos(0)=1, então f(tfrac52)=3.
  • Em x=tfrac52+tfracpi4, o argumento é tfracpi2 e cos(tfracpi2)=0, logo f=0.
  • Em x=tfrac52+tfracpi2, o argumento é pi e cos(pi)=-1, logo f=-3.
  • Em x=tfrac52+tfrac3pi4, volta a zero, etc.
    Desenha-se, portanto, uma cossenoide de amplitude 3, período pi, cujo pico principal ocorre em x=tfrac52, os zeros a cada tfracpi4 depois desse ponto e o mínimo em x=tfrac52+tfracpi2, repetindo-se periodicamente.

Resposta

A=R
B=[-3,3]
Gráfico: cossenoide de amplitude 3, período pi, deslocada tfrac52 unidades à direita, com pontos-chave
(tfrac52,3), (tfrac52+tfracpi4,0), (tfrac52+tfracpi2,-3), etc.

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