Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
2. A curva
é uma parábola.
2. A curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a afirmação “A curva
é uma parábola” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos analisar a curva dada pela função vetorial
. Isso significa que as coordenadas dessa curva são:
Passo 3
Para entender a forma dessa curva, podemos eliminar o parâmetro
. A partir de
, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Passo 5
Agora, temos a relação entre
e
:
Essa é a equação de uma parábola no plano
, já que é uma equação quadrática onde
depende de
.
Passo 6
Além disso, notamos que
, o que significa que toda a curva está contida no plano
. Portanto, no espaço tridimensional, a curva
representa uma parábola no plano
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. A curva
descreve uma parábola no plano
pois, ao eliminar o parâmetro
, obtemos
, que é a equação de uma parábola.