Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
2. A curva r(t) = < 0, t^2, 4t > é uma parábola.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a afirmação “A curva é uma parábola” é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos analisar a curva dada pela função vetorial . Isso significa que as coordenadas dessa curva são:

Passo 3

Para entender a forma dessa curva, podemos eliminar o parâmetro . A partir de , podemos expressar em função de :

Passo 4

Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, temos a relação entre e :
Essa é a equação de uma parábola no plano , já que é uma equação quadrática onde depende de .

Passo 6

Além disso, notamos que , o que significa que toda a curva está contida no plano . Portanto, no espaço tridimensional, a curva representa uma parábola no plano .

Resposta

A afirmação é verdadeira. A curva descreve uma parábola no plano pois, ao eliminar o parâmetro , obtemos , que é a equação de uma parábola.

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