Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente está relacionado à matemática multivariada, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de em relação a , e e avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis: , e .
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, e são tratadas como constantes.
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar em relação a .
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a . Novamente, e são constantes.
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a .
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .