Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(j) f(x, y, z) = x ln(y z), (2, 1, e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente está relacionado à matemática multivariada, mais especificamente ao cálculo de derivadas parciais. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de em relação a , e e avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, temos três variáveis: , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, e são tratadas como constantes.
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a . Novamente, e são constantes.
Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .
Para :
Para :
Para :

Resposta

O gradiente da função no ponto é dado por:

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