Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
  1. A curva com equação vetorial r(t) = t^3 i + 2 t^3 j + 3 t^3 k é uma reta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por uma equação vetorial . O objetivo aqui é descobrir se essa curva é uma reta ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e equações vetoriais de linhas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a estrutura da equação vetorial dada. Ela está escrita como:
A gente pode fatorar o para deixar mais claro:
Isso mostra que todos os componentes da posição estão multiplicados pelo mesmo fator .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é a equação vetorial de uma reta no espaço. A forma geral é:
Onde é um ponto inicial da reta e é o vetor diretor, que indica a direção da reta. Note que o parâmetro está na primeira potência.

Passo 4

Comparando com a equação que temos, observamos que o está elevado ao cubo ( ) em vez de simplesmente . Mesmo assim, isso não muda o fato de que a direção da curva é constante, já que o vetor diretor permanece o mesmo para qualquer valor de .

Passo 5

Para confirmar se realmente é uma reta, podemos pensar que, independentemente do valor de , a posição da curva está sempre na direção do vetor . A elevação ao cubo no parâmetro apenas altera a “velocidade” com que percorremos a reta, mas não a sua direção.

Resposta

Verdadeira. A curva definida por descreve uma reta, pois todos os pontos estão alinhados na direção do vetor constante .

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