Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
- A curva com equação vetorial
é uma reta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por uma equação vetorial
. O objetivo aqui é descobrir se essa curva é uma reta ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e equações vetoriais de linhas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a estrutura da equação vetorial dada. Ela está escrita como:
A gente pode fatorar o
para deixar mais claro:
Isso mostra que todos os componentes da posição estão multiplicados pelo mesmo fator
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é a equação vetorial de uma reta no espaço. A forma geral é:
Onde
é um ponto inicial da reta e
é o vetor diretor, que indica a direção da reta. Note que o parâmetro
está na primeira potência.
Passo 4
Comparando com a equação que temos, observamos que o
está elevado ao cubo (
) em vez de simplesmente
. Mesmo assim, isso não muda o fato de que a direção da curva é constante, já que o vetor diretor
permanece o mesmo para qualquer valor de
.
Passo 5
Para confirmar se realmente é uma reta, podemos pensar que, independentemente do valor de
, a posição da curva está sempre na direção do vetor
. A elevação ao cubo no parâmetro apenas altera a “velocidade” com que percorremos a reta, mas não a sua direção.
Resposta
Verdadeira. A curva definida por
descreve uma reta, pois todos os pontos estão alinhados na direção do vetor constante
.