Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Precisaremos calcular as derivadas parciais de em relação a e , depois encontrar o gradiente no ponto dado e, por fim, calcular a derivada direcional usando o vetor de direção fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de .
A função é:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto . O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Substituindo e :
Para :
Para :
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor de direção . A normalização é necessária para que o vetor tenha comprimento 1, o que é importante para calcular a derivada direcional corretamente.
O vetor tem componentes . O comprimento (norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 5
A derivada direcional de no ponto na direção de é o produto escalar do gradiente de nesse ponto com o vetor unitário .
Então:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: