Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
7. Se é o vetor tangente unitário de uma curva suave, então a curvatura ê .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se é o vetor tangente unitário de uma curva suave, então a curvatura .” Estamos trabalhando com conceitos de geometria diferencial, especificamente sobre vetores tangentes e curvatura de curvas. Precisamos determinar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor tangente unitário, . Ele representa a direção da curva em cada ponto e tem magnitude igual a 1. Ou seja, sempre aponta na direção em que a curva está “andando” naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre curvatura, representada por . A curvatura mede o quanto a curva está “curvando” ou desviando da reta em um determinado ponto. Matematicamente, a definição padrão da curvatura é , onde s é o comprimento do arco, ou seja, a distância ao longo da curva a partir de um ponto inicial.
Passo 4
A diferença crucial aqui é que a derivada na definição padrão é em relação ao comprimento do arco s, e não em relação ao parâmetro t. Isso significa que a velocidade com que percorremos a curva pode afetar a relação entre t e s.
Passo 5
Se t for justamente o comprimento do arco, ou seja, se a curva estiver parametrizada pelo comprimento do arco, então . Nesse caso, a expressão seria correta, porque t está diretamente relacionado a s.
Passo 6
No entanto, se t não for o comprimento do arco, ou seja, a curva não está parametrizada por s, então a relação entre t e s envolve a velocidade da parametrização. Nesse cenário, a curvatura não seria simplesmente , pois precisaríamos levar em conta a taxa de mudança de s em relação a t.
Resposta
A afirmação é falsa, a menos que t seja o comprimento do arco. De outra forma, a curvatura não é simplesmente .