Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
7. Se T(t) é o vetor tangente unitário de uma curva suave, então a curvatura ê kappa = |d T / d t|.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se T(t) é o vetor tangente unitário de uma curva suave, então a curvatura kappa = |d T / d t|.” Estamos trabalhando com conceitos de geometria diferencial, especificamente sobre vetores tangentes e curvatura de curvas. Precisamos determinar se essa afirmativa é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor tangente unitário, T(t). Ele representa a direção da curva em cada ponto e tem magnitude igual a 1. Ou seja, sempre aponta na direção em que a curva está “andando” naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre curvatura, representada por kappa. A curvatura mede o quanto a curva está “curvando” ou desviando da reta em um determinado ponto. Matematicamente, a definição padrão da curvatura é , onde s é o comprimento do arco, ou seja, a distância ao longo da curva a partir de um ponto inicial.

Passo 4

A diferença crucial aqui é que a derivada na definição padrão é em relação ao comprimento do arco s, e não em relação ao parâmetro t. Isso significa que a velocidade com que percorremos a curva pode afetar a relação entre t e s.

Passo 5

Se t for justamente o comprimento do arco, ou seja, se a curva estiver parametrizada pelo comprimento do arco, então . Nesse caso, a expressão seria correta, porque t está diretamente relacionado a s.

Passo 6

No entanto, se t não for o comprimento do arco, ou seja, a curva não está parametrizada por s, então a relação entre t e s envolve a velocidade da parametrização. Nesse cenário, a curvatura não seria simplesmente , pois precisaríamos levar em conta a taxa de mudança de s em relação a t.

Resposta

A afirmação é falsa, a menos que t seja o comprimento do arco. De outra forma, a curvatura não é simplesmente .

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