Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
11. Se
para todo
, então
é constante.
11. Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão nos dá uma função vetorial
cujo comprimento (ou magnitude) é sempre 1 para qualquer valor de
. Querem saber se, com essa condição, o comprimento da derivada dessa função, que é
, também é sempre constante. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a magnitude de
é 1 para todo
. Isso significa que:
Vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Isso resulta em:
Portanto:
Isso nos diz que o vetor derivada
é sempre perpendicular a
.
Passo 4
Agora, a questão é saber se
é constante. Para isso, vamos pensar em um exemplo. Imagine que
descreve um movimento circular no plano, como uma circunferência unitária. Se a velocidade angular não for constante, a derivada
terá magnitude variável, mesmo que
sempre tenha magnitude 1.
Por exemplo, considere:
onde
é uma função que varia com
. A derivada será:
A magnitude de
é:
Se
não for constante, então
também não será constante.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que
para todo
, a magnitude da derivada
não precisa ser constante. Por exemplo, em um movimento circular com velocidade angular variável,
varia mesmo mantendo
.