Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
11. Se |r(t)| = 1 para todo t, então |r'(t)| é constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. A questão nos dá uma função vetorial r(t) cujo comprimento (ou magnitude) é sempre 1 para qualquer valor de t. Querem saber se, com essa condição, o comprimento da derivada dessa função, que é |r'(t)|, também é sempre constante. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a magnitude de r(t) é 1 para todo t. Isso significa que:
Vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado da sua magnitude. Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a t. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Isso resulta em:
Portanto:
Isso nos diz que o vetor derivada r'(t) é sempre perpendicular a r(t).

Passo 4

Agora, a questão é saber se |r'(t)| é constante. Para isso, vamos pensar em um exemplo. Imagine que r(t) descreve um movimento circular no plano, como uma circunferência unitária. Se a velocidade angular não for constante, a derivada r'(t) terá magnitude variável, mesmo que r(t) sempre tenha magnitude 1.
Por exemplo, considere:
onde theta(t) é uma função que varia com t. A derivada será:
A magnitude de r'(t) é:
Se não for constante, então também não será constante.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que para todo t, a magnitude da derivada |r'(t)| não precisa ser constante. Por exemplo, em um movimento circular com velocidade angular variável, varia mesmo mantendo .

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