Seja
. No ponto
, na direção de qual vetor
(a)
aumenta mais rapidamente.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função
e pede para determinar, no ponto
, em qual direção a função aumenta mais rapidamente. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que indica a direção de maior crescimento da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante:
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante:
Passo 3
Em seguida, avaliaremos essas derivadas no ponto
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Para
:
Para
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas no ponto
, podemos formar o vetor gradiente:
O vetor gradiente aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente a partir daquele ponto.
Passo 5
Para ter uma direção padrão, podemos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. Primeiro, calculamos o tamanho (magnitude) do vetor:
Agora, dividimos cada componente do vetor gradiente pelo seu tamanho:
Resposta
No ponto
, a função
aumenta mais rapidamente na direção do vetor
.