Seja f(x, y) = x^2 * y^3. No ponto -1,2, na direção de qual vetor
(a) f aumenta mais rapidamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função e pede para determinar, no ponto , em qual direção a função aumenta mais rapidamente. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente, que indica a direção de maior crescimento da função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo constante:
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a , mantendo constante:

Passo 3

Em seguida, avaliaremos essas derivadas no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Para :
Para :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas no ponto , podemos formar o vetor gradiente:
O vetor gradiente aponta na direção em que a função aumenta mais rapidamente a partir daquele ponto.

Passo 5

Para ter uma direção padrão, podemos normalizar o vetor gradiente, ou seja, transformá-lo em um vetor unitário. Primeiro, calculamos o tamanho (magnitude) do vetor:
Agora, dividimos cada componente do vetor gradiente pelo seu tamanho:
çãá

Resposta

No ponto , a função aumenta mais rapidamente na direção do vetor .

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