Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
8. O vetor binormal B(t) = N(t) x T(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "O vetor binormal é igual ao produto vetorial entre o vetor normal N(t) e o vetor tangente T(t)", ou seja, , é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Frenet-Serret, que trata dos vetores tangente, normal e binormal em curvas no espaço, além de saber como funciona o produto vetorial entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses vetores:
  • Vetor Tangente T(t): Aponta na direção da curva, indicando para onde a curva está indo naquele ponto.
  • Vetor Normal N(t): Aponta na direção na qual a curva está “virando” naquele ponto, perpendicular ao vetor tangente.
  • Vetor Binormal : É perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal, formando uma base ortonormal com eles.

Passo 3

Agora, o produto vetorial de dois vetores, como , resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e segue a regra da mão direita. No contexto da Frenet-Serret, esse terceiro vetor deveria ser o vetor binormal , já que ele é definido como sendo perpendicular a ambos, tangente e normal.

Passo 4

Vamos verificar a ordem do produto vetorial. Sabemos que o produto vetorial não é comutativo, ou seja, . No enunciado, está escrito . Pela Frenet-Serret, a relação correta é . Portanto, .

Passo 5

Como vimos, o vetor binormal é igual a e não a . Portanto, a afirmação está com a ordem invertida, resultando no vetor oposto.

Resposta

A afirmação é falsa porque , não . A ordem dos vetores no produto vetorial importa e inverte o sentido do vetor resultante.

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