Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
8. O vetor binormal
.
8. O vetor binormal
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a afirmação "O vetor binormal
é igual ao produto vetorial entre o vetor normal
e o vetor tangente
", ou seja,
, é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Frenet-Serret, que trata dos vetores tangente, normal e binormal em curvas no espaço, além de saber como funciona o produto vetorial entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são esses vetores:
- Vetor Tangente
: Aponta na direção da curva, indicando para onde a curva está indo naquele ponto. - Vetor Normal
: Aponta na direção na qual a curva está “virando” naquele ponto, perpendicular ao vetor tangente. - Vetor Binormal
: É perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao vetor normal, formando uma base ortonormal com eles.
Passo 3
Agora, o produto vetorial de dois vetores, como
, resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais e segue a regra da mão direita. No contexto da Frenet-Serret, esse terceiro vetor deveria ser o vetor binormal
, já que ele é definido como sendo perpendicular a ambos, tangente e normal.
Passo 4
Vamos verificar a ordem do produto vetorial. Sabemos que o produto vetorial não é comutativo, ou seja,
. No enunciado, está escrito
. Pela Frenet-Serret, a relação correta é
. Portanto,
.
Passo 5
Como vimos, o vetor binormal
é igual a
e não a
. Portanto, a afirmação
está com a ordem invertida, resultando no vetor oposto.
Resposta
A afirmação é falsa porque
, não
. A ordem dos vetores no produto vetorial importa e inverte o sentido do vetor resultante.