Usando a regra da cadeia, calcule d z / d t.
(a) z = x sen(y) + y sen(x), x = t^2, y = ln(t)

Passo 1

Okay, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Estamos trabalhando com funções de múltiplas variáveis aqui. Temos:
sendo e . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de . Vemos que é função de e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Isso significa que vamos derivar parcialmente em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular e .
Primeiro, :
Derivando em relação a , tratando como constante, temos:
Agora, :
Derivando em relação a , tratando como constante:

Passo 4

Agora, vamos encontrar e .
Sabemos que:
Então, derivando em relação a :
E:
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Substituímos e na expressão:

Passo 7

Simplificamos a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados