Usando a regra da cadeia, calcule
.
(a)
(a)
Passo 1
Okay, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. Estamos trabalhando com funções de múltiplas variáveis aqui. Temos:
sendo
e
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como
depende de
. Vemos que
é função de
e
, que por sua vez são funções de
. Então, para encontrar
, precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Isso significa que vamos derivar
parcialmente em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Primeiro,
:
Derivando em relação a
, tratando
como constante, temos:
Agora,
:
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
Derivando
Passo 4
Agora, vamos encontrar
e
.
Sabemos que:
Então, derivando em relação a
:
E:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Substituímos
e
na expressão:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: