Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
13. O círculo osculador de uma curva
em um ponto tem o mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que
naquele ponto.
13. O círculo osculador de uma curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está dizendo. A afirmação diz que o círculo osculador de uma curva
em um ponto específico tem o mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que a curva
naquele ponto. Para resolver isso, precisamos entender conceitos de geometria diferencial como vetor tangente, vetor normal, curvatura e círculo osculador.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é o círculo osculador. O círculo osculador de uma curva em um ponto é o círculo que “encaixa” melhor na curva naquele ponto, ou seja, ele tem a mesma direção e curvatura da curva naquele ponto. Isso significa que ele tem o mesmo vetor tangente e o mesmo vetor normal que a curva no ponto de contato.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre vetores tangente e normal. O vetor tangente é o vetor que indica a direção da curva naquele ponto. Já o vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta para a direção na qual a curva está “virando”. A curvatura mede o quanto a curva está mudando de direção naquele ponto.
Passo 4
A afirmação também menciona a curvatura. O círculo osculador tem a mesma curvatura da curva
no ponto considerado. Isso porque a curvatura do círculo osculador é exatamente a curvatura da curva
naquele ponto.
Passo 5
Então, juntando tudo, o círculo osculador compartilha o vetor tangente, o vetor normal e a curvatura com a curva
no ponto em questão. Isso faz sentido porque o círculo osculador é precisamente construído para ter essas mesmas propriedades, garantindo que ele “osculte” (ou se ajuste perfeitamente) à curva naquele ponto.
Resposta
A afirmação é verdadeira. O círculo osculador de uma curva
em um ponto possui o mesmo vetor tangente, vetor normal e curvatura que
naquele ponto.