Encontre partial z / partial u e partial z / partial v.
(b) z=sen(x / y), x=ln u, y=v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A gente está trabalhando com funções compostas aqui, usando cálculo de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que temos:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos começar encontrando partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u . Como partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u depende de e , e depende de , usamos a regra da cadeia:
Como , . Então:

Passo 4

Vamos calcular partial zpartial x = cos(xy) cdot 1y e partial xpartial u = 1u :
partial zpartial u = cos(xy) cdot 1y cdot 1u = cos(ln uv)v u
Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v . Usando a regra da cadeia novamente:
partial zpartial v = partial zpartial y cdot partial ypartial v
Como , . Então:

Passo 6

Vamos calcular partial zpartial y = cos(xy) cdot (-xy^2) e partial ypartial v = 1 :
partial zpartial v = cos(ln uv) cdot (-ln uv^2) = -ln u cdot cos(ln uv)v^2
Substituindo na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = cos(ln uv)v u
e
partial zpartial v = -ln u cdot cos(ln uv)v^2

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