Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
14. As parametrizaçōes diferentes de uma mesma curva resultam em vetores tangentes idênticos em um mesmo ponto da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que fala sobre parametrizações diferentes de uma mesma curva e se elas produzem vetores tangentes iguais no mesmo ponto. A matéria principal aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de curvas parametrizadas e vetores tangentes. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é uma parametrização de curva e como se calcula o vetor tangente a um ponto dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é parametrização de uma curva. Basicamente, é uma forma de representar uma curva usando uma ou mais variáveis, geralmente , que varia em um certo intervalo. Por exemplo, uma circunferência pode ser parametrizada por e , onde vai de 0 a .
Agora, sobre os vetores tangentes, eles são vetores que “tocam” a curva em um ponto específico e indicam a direção da curva naquele ponto. Para encontrar o vetor tangente, a gente deriva as funções que descrevem a curva em relação a .

Passo 3

Vamos pensar em duas parametrizações diferentes da mesma curva. Por exemplo, considere a circunferência unitária , e outra parametrização , .
Calculando os vetores tangentes:
  • Para a primeira parametrização:
  • Para a segunda parametrização:

Passo 4

Observando os vetores tangentes, percebemos que os vetores resultantes das duas parametrizações não são idênticos, pois um tem componentes multiplicadas por 2. Isso significa que, embora as curvas sejam as mesmas, os vetores tangentes podem ter magnitudes diferentes devido à maneira como a curva está parametrizada.

Passo 5

Além disso, se a parametrização envolver uma direção oposta, os vetores tangentes também podem ter direções diferentes, ou seja, apontar para sentidos opostos na curva.

Resposta

A afirmação é falsa. Parametrizações diferentes de uma mesma curva podem resultar em vetores tangentes com magnitudes e até direções diferentes no mesmo ponto da curva, como mostramos no exemplo das parametrizações da circunferência unit��ria.

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