Seja r(t)=lang<=raiz2-t,(e^t-1) / t, ln (t+1)rang<=.
(a) Determine o domínio de r.
(b) Encontre lim t 0 r(t).
© Encontre r^prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial . Precisamos:
(a) Encontrar o domínio dessa função.
(b) Calcular o limite de quando se aproxima de 0.
© Encontrar a derivada de .
Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções, limites e derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Parte (a): Determinar o domínio de t in (-1, 0) cup (0, 2] .
O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de para os quais todas as componentes da função estão definidas.
Vamos analisar cada componente:
  1. :
    • A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.
    • Então, .
  2. :
    • O denominador não pode ser zero.
    • Portanto, .
  3. :
    • O argumento do logaritmo deve ser positivo.
    • Então, .
Agora, vamos encontrar a interseção desses intervalos:
Então, o domínio de é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar limt 0 r(t) = lang<= raiz2, 1, 0 rang<= .
Vamos calcular o limite de cada componente individualmente:
  1. .
  2. :
    • Aqui, temos uma forma indeterminada . Podemos usar a Regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador:
    • Derivada do numerador: .
    • Derivada do denominador: .
    • Então, o limite é .
  3. .
Portanto, o limite de quando tende a 0 é:

Passo 4

Parte ©: Encontrar ddt ( e^t - 1t ) = e^t cdot t - (e^t - 1) cdot 1t^2 = e^t t - e^t + 1t^2 .
Vamos derivar cada componente de r^prime(t) = lang<= -12raiz2 - t, e^t t - e^t + 1t^2, 1t + 1 rang<= em relação a :
  1. Derivada de :
    • .
  2. Derivada de :
    • Aqui, usamos a regra do quociente: , onde e .
    • , .
    • Então:
  3. Derivada de :
    • .
Então, a derivada da função vetorial é:

Resposta

(a) O domínio de é .
(b) .
© A derivada da função vetorial é .

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