Seja
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) Encontre
.
© Encontre
.
(a) Determine o domínio de
(b) Encontre
© Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
. Precisamos:
(a) Encontrar o domínio dessa função.
(b) Calcular o limite de
quando
se aproxima de 0.
© Encontrar a derivada de
.
Para isso, vamos precisar entender sobre domínio de funções, limites e derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Parte (a): Determinar o domínio de
.
O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes da função estão definidas.
Vamos analisar cada componente:
-
: - A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.
- Então,
.
-
: - O denominador não pode ser zero.
- Portanto,
.
-
: - O argumento do logaritmo deve ser positivo.
- Então,
.
Agora, vamos encontrar a interseção desses intervalos:
Então, o domínio de
é:
Passo 3
Parte (b): Encontrar
.
Vamos calcular o limite de cada componente individualmente:
-
. -
: - Aqui, temos uma forma indeterminada
. Podemos usar a Regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador: - Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
. - Então, o limite é
.
- Aqui, temos uma forma indeterminada
-
.
Portanto, o limite de
quando
tende a 0 é:
Passo 4
Parte ©: Encontrar
.
Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
-
Derivada de
: -
.
-
-
Derivada de
: - Aqui, usamos a regra do quociente:
, onde e . -
, . - Então:
- Aqui, usamos a regra do quociente:
-
Derivada de
: -
.
-
Então, a derivada da função vetorial
é:
Resposta
(a) O domínio de
é
.
(b)
.
© A derivada da função vetorial é
.