Seja F(u, v) uma função de duas variáveis. Calcule f'(x) se
© f(x) = F(x, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar o cálculo de funções de várias variáveis, especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que significa que as duas variáveis de , que são e , estão ambas dependendo de . Ou seja, temos e .

Passo 3

Agora, para encontrar , ou seja, a derivada de em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. : é a derivada parcial de em relação a .
  2. : já que , então .
  3. : é a derivada parcial de em relação a .
  4. : já que , então .

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, avaliamos as derivadas parciais em e . Assim, a resposta final fica:

Resposta

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