Seja
uma função de duas variáveis. Calcule
se
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e queremos encontrar a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos usar o cálculo de funções de várias variáveis, especificamente a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
significa que as duas variáveis de
, que são
e
, estão ambas dependendo de
. Ou seja, temos
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
, vamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
-
: é a derivada parcial de em relação a . -
: já que , então . -
: é a derivada parcial de em relação a . -
: já que , então .
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, avaliamos as derivadas parciais em
e
. Assim, a resposta final fica: