Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
3. A curva r(t) = < 2t, 3 - t, 0 > ế uma linha que passa através da origem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela função vetorial . O objetivo é descobrir se essa curva, que é uma linha no espaço tridimensional, realmente passa pela origem (o ponto ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação paramétrica de uma reta.

Passo 2

Para verificar se a linha passa pela origem, precisamos encontrar um valor de t que torne os três componentes de r(t) iguais a zero. Ou seja, queremos que:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação:
    Resolvendo para t, temos .
  2. Segunda equação:
    Substituindo , temos .
  3. Terceira equação:
    Esta equação é sempre verdadeira, mas não nos dá informação adicional.
Observamos que, embora a primeira equação nos dê , ao substituir esse valor na segunda equação, não obtemos uma igualdade verdadeira. Isso significa que não existe um único valor de t que satisfaz as duas primeiras equações simultaneamente.

Resposta

A afirmação é falsa. Não existe nenhum valor de t que faça com que . Portanto, a linha definida pela curva não passa pela origem.

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