Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
3. A curva ế uma linha que passa através da origem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a curva definida pela função vetorial . O objetivo é descobrir se essa curva, que é uma linha no espaço tridimensional, realmente passa pela origem (o ponto ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a equação paramétrica de uma reta.
Passo 2
Para verificar se a linha passa pela origem, precisamos encontrar um valor de que torne os três componentes de iguais a zero. Ou seja, queremos que:
Isso nos leva ao seguinte sistema de equações:
Vamos resolver cada equação:
Primeira equação:
Resolvendo para t, temos .
Segunda equação:
Substituindo , temos .
Terceira equação:
Esta equação é sempre verdadeira, mas não nos dá informação adicional.
Observamos que, embora a primeira equação nos dê , ao substituir esse valor na segunda equação, não obtemos uma igualdade verdadeira. Isso significa que não existe um único valor de t que satisfaz as duas primeiras equações simultaneamente.
Resposta
A afirmação é falsa. Não existe nenhum valor de t que faça com que . Portanto, a linha definida pela curva não passa pela origem.