Determine a função derivada das funções: f(x) = raiz(cubica((raiz(3) * x) / (x^2 + 1)));

Passo 1

Vamos determinar a derivada da função . Esse exercício envolve conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia, derivadas de potências e regras para derivar quocientes. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência com expoente . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é utilizada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .
Aqui, podemos identificar:
  • Função exterior:
  • Função interior:

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a função exterior em relação a :

Passo 5

Em seguida, precisamos derivar a função interior . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é:
Onde:

Passo 6

Vamos derivar e :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando as derivadas que encontramos:
Substituindo de volta:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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