Determine a função derivada das funções:
;
Passo 1
Vamos determinar a derivada da função
. Esse exercício envolve conceitos de cálculo diferencial, como a regra da cadeia, derivadas de potências e regras para derivar quocientes. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência com expoente
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é utilizada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Aqui, podemos identificar:
- Função exterior:
- Função interior:
Passo 4
Primeiro, vamos derivar a função exterior
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, precisamos derivar a função interior
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é:
Onde:
Passo 6
Vamos derivar
e
:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando as derivadas que encontramos:
Substituindo
de volta:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada da função é: