Seja
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde temos a função
. O objetivo é calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e vetores de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
No ponto
, substituímos
e
nas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter o vetor unitário na direção de
.
O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de
com o vetor unitário
.
O gradiente de
no ponto
é:
Então, a derivada direcional
é:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.