Seja f(x, y) = x^2 * y. Calcule a derivada direcional de f no ponto (2,6) e na direção do vetor v = 4 i - 3 j.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos a função . O objetivo é calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas parciais e vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

No ponto , substituímos e nas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de .
O comprimento de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

A derivada direcional é dada pelo produto escalar do gradiente de com o vetor unitário .
O gradiente de no ponto é:
Então, a derivada direcional é:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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