Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
6. Se é uma função vetorial diferenciável, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Se r(t) é uma função vetorial diferenciável, então
d/dt |r(t)| = |r'(t)|
Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especialmente sobre derivadas de funções vetoriais e como calcular a derivada do módulo de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa r(t) ser uma função vetorial diferenciável. Isso quer dizer que cada componente de r(t) tem uma derivada em relação a t. Por exemplo, se , então existe.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada do módulo de r(t). O módulo de um vetor r(t) é dado por:
Para derivar isso em relação a t, usamos a regra da cadeia:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o lado direito da afirmação original, que é |r'(t)|. Isso representa o módulo da derivada da função vetorial, ou seja, a velocidade do vetor r(t).
Passo 5
Para verificar se a afirmação é verdadeira, precisamos ver se:
Sabemos que o produto escalar , onde theta é o ângulo entre r(t) e r'(t). Substituindo isso na equação, temos:
Passo 6
Comparando com o lado direito da afirmação, que é apenas |r'(t)|, vemos que:
Isso só é verdade se , ou seja, quando o ângulo graus. Ou seja, somente quando r(t) e r'(t) estão na mesma direção.
Passo 7
Porém, em geral, theta pode ser qualquer ângulo, e pode variar entre -1 e 1. Portanto, a equação original só é verdadeira para casos específicos onde os vetores são paralelos. Na maioria das vezes, isso não acontece.
Passo 8
Vamos dar um exemplo para ilustrar que a afirmação é falsa. Considere a função vetorial . Então,
Calculando :
Já .
Para , , que é igual a |r'(t)|. Mas, para , , que é diferente de .
Resposta
A afirmação é falsa em geral. A igualdade só ocorre quando o vetor r(t) e sua derivada r'(t) estão na mesma direção, o que nem sempre acontece.