Encontre a derivada direcional de 
  no ponto 
  e na direção do vetor
(b) 
 
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função 
  no ponto 
  na direção do vetor 
 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de derivada direcional e o gradiente da função. Precisaremos calcular o gradiente de 
  e normalizar o vetor de direção dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função 
 . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis, ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a 
:  
- Derivada parcial em relação a 
:  
- Derivada parcial em relação a 
:  
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto 
 :
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção 
 . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção. Primeiro, calculamos a magnitude do vetor 
 :
Passo 6
O vetor unitário 
  na direção de 
  é:
Passo 7
A derivada direcional 
  é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é 
 .