Encontre a derivada direcional de f(x, y, z) = 3 x^2 y^2 + 2 y z no ponto -1, 0, 4 e na direção do vetor
(b) -i + 3j + 3k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de derivada direcional e o gradiente da função. Precisaremos calcular o gradiente de e normalizar o vetor de direção dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis, ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção. Primeiro, calculamos a magnitude do vetor :

Passo 6

O vetor unitário na direção de é:

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional é .

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