Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a definição de derivada direcional e o gradiente da função. Precisaremos calcular o gradiente de
e normalizar o vetor de direção dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis, ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção. Primeiro, calculamos a magnitude do vetor
:
Passo 6
O vetor unitário
na direção de
é:
Passo 7
A derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional é
.