Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
9. Suponha que 
  seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva 
 , a curvatura é 0 .
9. Suponha que
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Suponha que 
  seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva 
 , a curvatura é 0.” Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de ponto de inflexão, curvatura e como calcular a curvatura de uma função 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão na curva 
  é onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada 
  muda de sinal. Matematicamente, isso ocorre quando 
  e há uma mudança no sinal de 
  ao passar por esse ponto.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a curvatura de uma função 
 . A curvatura 
  em um ponto 
  mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para uma função 
  que é duas vezes diferenciável, a fórmula da curvatura é dada por:
Passo 4
Observando a fórmula da curvatura, notamos que ela depende da segunda derivada 
  e da primeira derivada 
 . No ponto de inflexão, sabemos que 
 . Substituindo isso na fórmula da curvatura:
Passo 5
Portanto, neste ponto de inflexão, a curvatura 
  é igual a 0, independentemente do valor de 
 , desde que 
  seja finito, o que é garantido pela condição de 
  ser duas vezes continuamente diferenciável.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Em um ponto de inflexão da curva 
 , onde 
  é duas vezes continuamente diferenciável, a curvatura é igual a 0 porque a segunda derivada 
  é zero nesse ponto, conforme demonstrado.