Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
9. Suponha que
seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva
, a curvatura é 0 .
9. Suponha que
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Suponha que
seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva
, a curvatura é 0.” Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de ponto de inflexão, curvatura e como calcular a curvatura de uma função
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão na curva
é onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada
muda de sinal. Matematicamente, isso ocorre quando
e há uma mudança no sinal de
ao passar por esse ponto.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a curvatura de uma função
. A curvatura
em um ponto
mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para uma função
que é duas vezes diferenciável, a fórmula da curvatura é dada por:
Passo 4
Observando a fórmula da curvatura, notamos que ela depende da segunda derivada
e da primeira derivada
. No ponto de inflexão, sabemos que
. Substituindo isso na fórmula da curvatura:
Passo 5
Portanto, neste ponto de inflexão, a curvatura
é igual a 0, independentemente do valor de
, desde que
seja finito, o que é garantido pela condição de
ser duas vezes continuamente diferenciável.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Em um ponto de inflexão da curva
, onde
é duas vezes continuamente diferenciável, a curvatura é igual a 0 porque a segunda derivada
é zero nesse ponto, conforme demonstrado.