Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
9. Suponha que f seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva y = f(x), a curvatura é 0 .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Suponha que seja duas vezes continuamente diferenciável. Em um ponto de inflexão da curva , a curvatura é 0.” Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de ponto de inflexão, curvatura e como calcular a curvatura de uma função .

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão na curva é onde a concavidade da curva muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Matematicamente, isso ocorre quando e há uma mudança no sinal de ao passar por esse ponto.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a curvatura de uma função . A curvatura em um ponto mede o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Para uma função que é duas vezes diferenciável, a fórmula da curvatura é dada por:

Passo 4

Observando a fórmula da curvatura, notamos que ela depende da segunda derivada e da primeira derivada . No ponto de inflexão, sabemos que . Substituindo isso na fórmula da curvatura:

Passo 5

Portanto, neste ponto de inflexão, a curvatura é igual a 0, independentemente do valor de , desde que seja finito, o que é garantido pela condição de ser duas vezes continuamente diferenciável.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Em um ponto de inflexão da curva , onde é duas vezes continuamente diferenciável, a curvatura é igual a 0 porque a segunda derivada é zero nesse ponto, conforme demonstrado.

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