Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
12. Se |r(t)| = 1 para todo t, então r'(t) é ortogonal a r(t) para todo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: se o tamanho (magnitude) do vetor posição r(t) é sempre 1 para qualquer valor de t, então a derivada desse vetor, que é r'(t), é sempre ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com r(t). A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar, para descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o tamanho de um vetor r(t) é dado por . Se esse tamanho é sempre 1, então temos:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar os cálculos:
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu tamanho.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a t:
Lembrando que a derivada de uma constante é zero:
Isso veio da regra do produto para derivadas de vetores.

Passo 4

Agora, podemos simplificar a equação:
O produto escalar entre r(t) e r'(t) igual a zero significa que esses dois vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se o vetor posição r(t) tem magnitude constante igual a 1 para todo t, então sua derivada r'(t) é sempre ortogonal a r(t).

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