Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
12. Se
para todo
, então
é ortogonal a
para todo
.
12. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: se o tamanho (magnitude) do vetor posição
é sempre 1 para qualquer valor de
, então a derivada desse vetor, que é
, é sempre ortogonal (ou seja, forma um ângulo de 90 graus) com
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto escalar, para descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tamanho de um vetor
é dado por
. Se esse tamanho é sempre 1, então temos:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para facilitar os cálculos:
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu tamanho.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
:
Lembrando que a derivada de uma constante é zero:
Isso veio da regra do produto para derivadas de vetores.
Passo 4
Agora, podemos simplificar a equação:
O produto escalar entre
e
igual a zero significa que esses dois vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se o vetor posição
tem magnitude constante igual a 1 para todo
, então sua derivada
é sempre ortogonal a
.