Determine a função derivada das funções: f(x) = [tg(x/2) + pi]^{2}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivada da função tangente. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar fórmulas básicas de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa função. Ela está no formato de uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No caso, temos uma função interna e depois elevamos isso ao quadrado.

Passo 3

Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função, temos:
Aqui, derivamos a parte externa ( ) que virou e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 5

Agora, vamos derivar a parte interna . Sabemos que a derivada de é . E a derivada de uma constante como é zero.
Então,
Aqui, , então .

Passo 6

Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão da derivada da função original:
Simplificando os fatores de 2 e :

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados