Determine a função derivada das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar a derivada da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a derivada da função tangente. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e usar fórmulas básicas de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa função. Ela está no formato de uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No caso, temos uma função interna
e depois elevamos isso ao quadrado.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, vamos usar a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se temos
, então a derivada
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função, temos:
Aqui, derivamos a parte externa (
) que virou
e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Passo 5
Agora, vamos derivar a parte interna
. Sabemos que a derivada de
é
. E a derivada de uma constante como
é zero.
Então,
Aqui,
, então
.
Passo 6
Agora, substituímos essa derivada de volta na expressão da derivada da função original:
Simplificando os fatores de 2 e
:
Resposta
A derivada da função é: