Resolva o PVI
l 2 y^prime prime-4 y^prime+6 y=f(t) y(0)=0, y^prime(0)=0
para
f(t)=ll 0, & t<1 (t-1)^2, & 1 <= t<2 -t^2+6 t-7, & 2 <= t <= 4 9-2 t, & t>4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com algumas condições iniciais. O enunciado nos dá:
l 2 y'' -4 y' + 6 y = f(t) y(0) =0, y^prime(0)=0
E a função $ f(t) $ muda dependendo do intervalo de $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar soluções homogêneas e particulares, além de aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo $ f(t) $:
f(t)
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
2 y'' -4 y' + 6 y = 0
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
y'' - 2 y' + 3 y = 0
Calculando o discriminante:
r^2 - 2 r + 3 = 0
Como $ \Delta < 0 $, as raízes são complexas:
De

Passo 3

Com as raízes complexas $ r = 1 \pm i \sqrt{2} $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1 pm i raiz2
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa, que inclui o termo $ f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função por partes, vamos resolver para cada intervalo de $ t $:
  1. Para $ t < 1 $: $ f(t) = 0 $
    Nesse caso, a solução é apenas a solução homogênea:
    yp(t)
  2. Para $ 1 \leq t < 2 $: $ f(t) = (t-1)^2 $
    Vamos tentar uma solução particular da forma polinomial. Suponha:
    f(t)
    Derivando:
    f(t)
    Substituindo na equação original:
    t
    Simplificando:
    t < 1
    Igualando os coeficientes:
    f(t) = 0
    Então, a solução particular para $ 1 \leq t <2 $ é:
    y(t) = yh(t)
  3. Para $ 2 \leq t \leq 4 $: $ f(t) = -t^2 +6 t -7 $
    Similarmente, suponha uma solução particular polinomial:
    1 <= t < 2
    Derivando e substituindo:
    f(t) = (t-1)^2
    Simplificando:
    yp(t) = A t^2 + B t + C
    Igualando os coeficientes:
    yp'(t) = 2A t + B yp''(t) = 2A
    Então, a solução particular para $ 2 \leq t \leq4 $ é:
    2(2A) -4(2A t + B) + 6(A t^2 + B t + C) = (t-1)^2
  4. Para $ t >4 $: $ f(t) =9 -2 t $
    Vamos tentar uma solução particular da forma linear:
    4A - 8A t - 4B + 6A t^2 + 6B t + 6C = t^2 - 2t + 1
    Derivando:
    6A = 1 Rightarrow A = 16 -8A + 6B = -2 Rightarrow -86 + 6B = -2 Rightarrow 6B = -2 + 43 = -23 Rightarrow B = -19 4A -4B + 6C = 1 Rightarrow 46 - 4 (-19) + 6C = 1 Rightarrow 23 + 49 + 6C = 1 Rightarrow 6C = 1 - 23 - 49 = 99 - 69 - 49 = -19 Rightarrow C = -154
    Substituindo na equação original:
    1 <= t <2
    Simplificando:
    yp(t) = 16 t^2 - 19 t - 154
    Igualando os coeficientes:
    2 <= t <= 4
    Então, a solução particular para $ t >4 $ é:
    f(t) = -t^2 +6 t -7

Passo 5

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo de $ t $:
  1. Para $ t <1 $:
    t
  2. Para $ 1 \leq t <2 $:
    t <1
  3. Para $ 2 \leq t \leq4 $:
    y(t) = yh(t) = e^t ( C1 cos(raiz2 , t) + C2 sin(raiz2 , t) )
  4. Para $ t >4 $:
    1 <= t <2

Passo 6

Por fim, aplicamos as condições iniciais $ y(0) =0 $ e $ y’(0)=0 $ para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t <1 $:
y(0) =0
Derivando $ y(t) $:
y'(0)=0
Aplicando $ t=0 $:
C1
Como $ C_1=0 $, então $ C_2 \sqrt{2} =0 \Rightarrow C_2=0 $

Resposta

A solução do PVI é dada por:
y(t) = 0, & t <1 16 t^2 - 19 t - 154, & 1 <= t <2 -16 t^2 + 79 t - 2954, & 2 <= t <=4 -13 t + 2318, & t >4

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