Resolva o PVI
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com algumas condições iniciais. O enunciado nos dá:
E a função $ f(t) $ muda dependendo do intervalo de $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, encontrar soluções homogêneas e particulares, além de aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o termo $ f(t) $:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta < 0 $, as raízes são complexas:
Passo 3
Com as raízes complexas $ r = 1 \pm i \sqrt{2} $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa, que inclui o termo $ f(t) $. Como $ f(t) $ é uma função por partes, vamos resolver para cada intervalo de $ t $:
-
Para $ t < 1 $: $ f(t) = 0 $Nesse caso, a solução é apenas a solução homogênea:
yp(t) -
Para $ 1 \leq t < 2 $: $ f(t) = (t-1)^2 $Vamos tentar uma solução particular da forma polinomial. Suponha:
f(t) Derivando:f(t) Substituindo na equação original:t Simplificando:t < 1 Igualando os coeficientes:f(t) = 0 Então, a solução particular para $ 1 \leq t <2 $ é:y(t) = yh(t) -
Para $ 2 \leq t \leq 4 $: $ f(t) = -t^2 +6 t -7 $Similarmente, suponha uma solução particular polinomial:
1 <= t < 2 Derivando e substituindo:f(t) = (t-1)^2 Simplificando:yp(t) = A t^2 + B t + C Igualando os coeficientes:yp'(t) = 2A t + B yp''(t) = 2A Então, a solução particular para $ 2 \leq t \leq4 $ é:2(2A) -4(2A t + B) + 6(A t^2 + B t + C) = (t-1)^2 -
Para $ t >4 $: $ f(t) =9 -2 t $Vamos tentar uma solução particular da forma linear:
4A - 8A t - 4B + 6A t^2 + 6B t + 6C = t^2 - 2t + 1 Derivando:6A = 1 Rightarrow A = 16 -8A + 6B = -2 Rightarrow -86 + 6B = -2 Rightarrow 6B = -2 + 43 = -23 Rightarrow B = -19 4A -4B + 6C = 1 Rightarrow 46 - 4 (-19) + 6C = 1 Rightarrow 23 + 49 + 6C = 1 Rightarrow 6C = 1 - 23 - 49 = 99 - 69 - 49 = -19 Rightarrow C = -154 Substituindo na equação original:1 <= t <2 Simplificando:yp(t) = 16 t^2 - 19 t - 154 Igualando os coeficientes:2 <= t <= 4 Então, a solução particular para $ t >4 $ é:f(t) = -t^2 +6 t -7
Passo 5
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular para cada intervalo de $ t $:
-
Para $ t <1 $:
t -
Para $ 1 \leq t <2 $:
t <1 -
Para $ 2 \leq t \leq4 $:
y(t) = yh(t) = e^t ( C1 cos(raiz2 , t) + C2 sin(raiz2 , t) ) -
Para $ t >4 $:
1 <= t <2
Passo 6
Por fim, aplicamos as condições iniciais $ y(0) =0 $ e $ y’(0)=0 $ para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ t <1 $:
Derivando $ y(t) $:
Aplicando $ t=0 $:
Como $ C_1=0 $, então $ C_2 \sqrt{2} =0 \Rightarrow C_2=0 $
Resposta
A solução do PVI é dada por: