Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, dadas
e
, vale sempre a igualdade
O conteúdo principal aqui é a compreensão da diferença entre razão de logaritmos (que dá o logaritmo de
na base
) e a propriedade de logaritmo de quociente (que diz que
).
Passo 2
Recordando a propriedade de logaritmo de quociente, temos
Isso mostra que a direita da igualdade proposta é
, e não um quociente
.
Passo 3
Por outro lado, a expressão
é justamente a fórmula do logaritmo de
na base
, isto é,
Logo, a igualdade que se deseja seria
Como em geral
não coincide com
, a afirmação é falsa.
Passo 4
Para dar um exemplo numérico simples, escolha
e
. Então
mas
Isso basta para shows that the proposed equality does not hold in general.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para
e
obtemos
e
,
logo não são iguais.
e
logo não são iguais.