Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se x>0 e a>1, então ln xln a=ln xa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dadas ,x>0 e a>1, vale sempre a igualdade
ln xln a ;=;ln!gl(xagr)
O conteúdo principal aqui é a compreensão da diferença entre razão de logaritmos (que dá o logaritmo de x na base a) e a propriedade de logaritmo de quociente (que diz que ln(x/a)=ln x-ln a).

Passo 2

Recordando a propriedade de logaritmo de quociente, temos
ln!gl(xagr) ;=;ln x ;-;ln a
Isso mostra que a direita da igualdade proposta é ln x - ln a, e não um quociente ln x/ln a.

Passo 3

Por outro lado, a expressão
ln xln a
é justamente a fórmula do logaritmo de x na base a, isto é,
ln xln a = loga(x)
Logo, a igualdade que se deseja seria
loga(x) stackrel?= ln x ;-;ln a
Como em geral loga(x) não coincide com ln x-ln a, a afirmação é falsa.

Passo 4

Para dar um exemplo numérico simples, escolha a=10 e x=100. Então
ln(100)ln(10) = log10(100) = 2,
mas
ln!gl(10010gr) = ln(10)approx 2,3026neq 2
Isso basta para shows that the proposed equality does not hold in general.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para a=10 e x=100 obtemos
ln(100)/ln(10)=2
e
ln(100/10)=ln(10)approx2,3026,
logo não são iguais.

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