Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x in Df sendo g dada por
z(x)=2+1x+1

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que
gl(f(x)r)=x
para todo x em Df, sabendo que
g(x)=2+1x+1
O conteúdo é inverter a função g (encontrar sua inversa) e identificar o domínio de f.

Passo 2

Para inverter, primeiro achamos o domínio e a imagem de g:
  • Domínio de g: xneq -1, ou seja
Dg=xinRmid xneq -1
  • Imagem de g: escrevendo y=2+1x+1 vemos que tfrac1x+1 nunca vale zero, logo
yneq 2
e a imagem é Rsetminus2. Esse é exatamente o domínio natural de f:
Df=Rsetminus2

Passo 3

Agora invertemos a relação y=2+1t+1. Para achar t em função de y:
y-2=1t+1 Longrightarrow t+1=1y-2 Longrightarrow t=1y-2-1
Como queremos f(x) de modo que t=f(x) e y=x, temos
f(x)=1x-2-1,
com xneq 2.

Passo 4

Verificação rápida:
gl(f(x)r) =2+1l(f(x)r)+1 =2+1l(1x-2-1r)+1 =2+11x-2 =2+(x-2) =x
Tudo confere.

Resposta

f(x)=1x-2-1, Df=Rsetminus2

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