Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f é uma função, então f(s+t)=f(s)+f(t).

Passo 1

O enunciado afirma que “para toda função f vale
f(s+t)=f(s)+f(t)
Isso é um tipo de equação funcional–mais especificamente, a propriedade de aditividade. Para decidir se é sempre verdade, precisamos lembrar que nem toda função é aditiva.

Passo 2

Uma função que satisfaz
f(s+t)=f(s)+f(t)
para todos s,t é chamada de função aditiva (ou homogênea de grau 1, quando também se assume f(0)=0). Mas a maioria das funções não satisfaz essa condição. Basta mostrar um exemplo em que a igualdade falha.

Passo 3

Considere a função
f(x)=x^2
Então, para quaisquer s e t,
f(s+t)=(s+t)^2 = s^2 + 2,s,t + t^2,
enquanto
f(s)+f(t)=s^2 + t^2
Como em geral 2,s,tneq 0, temos
f(s+t)neq f(s)+f(t)

Passo 4

Portanto a afirmação “se f é uma função, então f(s+t)=f(s)+f(t)” é falsa, pois já existe, por exemplo, f(x)=x^2 que não cumpre essa relação.

Resposta

A afirmação é falsa.

Exercícios relacionados