Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
é uma função, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que “para toda função
vale
Isso é um tipo de equação funcional–mais especificamente, a propriedade de aditividade. Para decidir se é sempre verdade, precisamos lembrar que nem toda função é aditiva.
Passo 2
Uma função que satisfaz
para todos
é chamada de função aditiva (ou homogênea de grau 1, quando também se assume
). Mas a maioria das funções não satisfaz essa condição. Basta mostrar um exemplo em que a igualdade falha.
Passo 3
Considere a função
Então, para quaisquer
e
,
enquanto
Como em geral
, temos
Passo 4
Portanto a afirmação “se
é uma função, então
” é falsa, pois já existe, por exemplo,
que não cumpre essa relação.
Resposta
A afirmação é falsa.