Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
é uma função, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se toda função
satisfaz a relação
O conteúdo aqui é simples: estamos testando se uma propriedade de proporcionalidade vale para qualquer função. Para resolver, basta lembrar que uma função arbitrária não precisa ser linear nem homogênea.
Passo 2
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta encontrar uma função que não obedeça a essa lei de proporcionalidade. Ou seja, escolhemos um contraprojeto: uma
tal que para algum
seja
Passo 3
Considere a função
Então
enquanto
Para
, claramente
, logo
Passo 4
Como encontramos um exemplo concreto em que a igualdade não se sustenta, concluímos que a propriedade não vale para funções em geral.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
, pois aí
.