Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
tg^-1(-1)=3 pi / 4

Passo 1

O enunciado nos dá a afirmação
tan^-1(-1)=3pi4
e pede para determinar se isso é verdadeiro ou falso. O conteúdo envolvido é a função inversa da tangente, seu ramo principal e a periodicidade de tan x.

Passo 2

Por definição, a função
y=tan^-1(x)
retorna o único valor y em
l(-tfracpi2,tfracpi2r)
tal que tan y = x. Esse intervalo é chamado de ramo principal de tan^-1.

Passo 3

Queremos então resolver tan y = -1 com yin(-tfracpi2,tfracpi2). Sabemos que
tanl(-tfracpi4r)=-1
e -tfracpi4 está de fato em l(-tfracpi2,tfracpi2r). Logo
tan^-1(-1) = -tfracpi4

Passo 4

É verdade que tan(3pi/4)=-1, pois
3pi/4 = -tfracpi4 + pi,
e a tangente tem período pi. Mas 3pi/4 não está no ramo principal l(-tfracpi2,tfracpi2r), então não pode ser o valor de tan^-1(-1).

Resposta

A afirmação é falsa, pois no ramo principal tan^-1(-1)=-tfracpi4, não tfrac3pi4.

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