Usando as propriedades dos logaritmos, expanda as expressões abaixo. log2 raiz[3]x^2 y

Passo 1

A questão pede para expandir a expressão usando as propriedades de logaritmos: base do logaritmo, radical em expoente, produto em soma e potência em fator. Vamos trabalhar com log2 raiz[3]x^2 y e usar as regras:
  1. raiz[3]A = A^1/3
  2. logb(A^c) = c,logb(A)
  3. logb(AB) = logb(A) + logb(B)

Passo 2

Reescrevemos o radical como uma potência de expoente 1/3. Assim temos:
log2 raiz[3]x^2 y = log2l((x^2y)^1/3r)

Passo 3

Aplicamos a propriedade da potência dentro do logaritmo ( logb(A^c)=clogb(A)) para tirar o expoente 1/3 na frente do logaritmo:
log2l((x^2y)^1/3r) = tfrac13,log2(x^2y)

Passo 4

Agora usamos a propriedade do produto ( logb(AB)=logb(A)+logb(B)) para separar log2(x^2y):
log2(x^2y) = log2(x^2) + log2(y)

Passo 5

Ainda falta expandir log2(x^2) usando a propriedade da potência. Temos:
log2(x^2) = 2,log2(x)
Substituindo de volta em tfrac13(log2(x^2) + log2(y)) e distribuindo tfrac13, obtemos a expressão final expandida.

Resposta

tfrac23,log2(x) + tfrac13,log2(y)

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