Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f e g são funções, então f circ g=g circ f.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas funções f e g, sempre vale
fcirc g = gcirc f
O conteúdo é composição de funções e sua propriedade de comutatividade.

Passo 2

Lembrando a definição de composição: se fcolon Xto Y e gcolon Yto Z, então para todo xin X
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) e (gcirc f)(x)=gl(f(x)r)
Note que a ordem das aplicações é diferente.

Passo 3

Em geral, a aplicação em ordens trocadas produz resultados diferentes, pois a saída de uma função entra como entrada da outra em sequência inversa. Ou seja, composição não é, em geral, comutativa.

Passo 4

Um contraexemplo simples em X=R:
f(x)=x+1, g(x)=2x
Então para todo xinR
(fcirc g)(x)=fl(2xr)=2x+1,
(gcirc f)(x)=gl(x+1r)=2(x+1)=2x+2
Como 2x+1neq 2x+2, concluímos que
fcirc g neq gcirc f

Resposta

A afirmação é falsa. Uma composição de funções não é, em geral, comutativa, como mostra o exemplo acima.

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