Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se e são funções vetoriais diferenciáveis, então

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a fórmula
ddtl[u(t)times v(t)r] =u'(t)times v'(t)
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: em particular, derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais diferenciáveis.

Passo 2

A regra correta para a derivada do produto vetorial é análoga à do produto escalar, ou seja, vale a “regra da soma de dois termos”. Especificamente, para funções vetoriais u(t) e v(t) temos
ddtl[u(t)times v(t)r] =u'(t)times v(t)+u(t)times v'(t)

Passo 3

Comparando a regra correta com a afirmação dada
u'(t)times v(t)+u(t)times v'(t) versus u'(t)times v'(t),
vemos que falta o termo u(t)times v'(t) e também não há justificação para somar somente u'times v'. Logo, a afirmação é incompatível com a regra estabelecida no cálculo vetorial.

Passo 4

Para tornar isso mais concreto, considere o exemplo simples
u(t)=lang<= t,0,0rang<=, v(t)=lang<= 0,t,0rang<=
Então
u(t)times v(t) =lang<= t,0,0rang<=timeslang<= 0,t,0rang<= =lang<= 0,0,t^2rang<=,
e
ddtl[u(t)times v(t)r] =lang<= 0,0,2trang<=
Por outro lado
u'(t)=lang<= 1,0,0rang<=, v'(t)=lang<= 0,1,0rang<= Longrightarrow u'(t)times v'(t)=lang<= 0,0,1rang<=,
que claramente não coincide com lang<= 0,0,2trang<= para t geral.

Resposta

A afirmação é falsa.

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