Determine em que pontos de seus domínios as funções f abaixo são contínuas, justificando a resposta:
f(x)=raiz|sin x|, x in R

Passo 1

O enunciado pede para identificar os pontos de continuidade de
f(x)=raiz|sin x|, xinR
O conteúdo principal aqui é continuidade e composição de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, determino o domínio de f. Como sin x varia em [-1,1], temos |sin x|in[0,1]. A função raiz quadrada raizt está definida e é real para todo t>=0. Logo, f(x) está bem definida para todo xinR. Assim,
Dom(f)=R

Passo 3

Agora, analiso a continuidade por composição de funções conhecidas:
  1. sin x é contínua em R.
  2. A função valor absoluto umapsto|u| é contínua em R.
  3. A função raiz quadrada tmapstoraizt é contínua em [0,infty).

Passo 4

Como sin x leva valores em [-1,1], temos |sin x|in[0,1], ou seja, sempre na região onde a raiz quadrada é contínua. A composição
x;xrightarrow sin ;sin x;xrightarrow |cdot| ;|sin x|;xrightarrow raiz ;raiz|sin x|
é, portanto, contínua em todo xinR.

Resposta

A função f(x)=raiz|sin x| é contínua para todo xinR.

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