Determine em que pontos de seus domínios as funções

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^3+x^24x^3+9x^2+x,&xneq 0, 1,&x=0,
e pede em que pontos do domínio f é contínua. Vamos usar que
  1. Uma função racional é contínua em todo ponto em que está definida.
  2. Num ponto de emenda de definição por partes (aqui x=0), devemos comparar o valor dado com o limite que a parte racional tende.

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio da parte racional xneq 0. A condição de não anularem o denominador é
4x^3+9x^2+x=0 ;Long<=ftrightarrow; x,(4x^2+9x+1)=0
Assim os zeros são x=0 e as raízes de 4x^2+9x+1=0, isto é
x=-9pmraiz81-168 =-9pmraiz658

Passo 3

Logo o domínio de f (contando a parte x=0) é
Rsetminusltfrac-9+raiz658,,tfrac-9-raiz658r
Em todos os pontos desse domínio, exceto possivelmente em x=0, a função coincide com uma racional não nula no denominador, logo é contínua nesses pontos.

Passo 4

Resta verificar a continuidade em x=0. Para isso, simplificamos a parte racional para xneq 0:
x^3+x^24x^3+9x^2+x =x^2(x+1)x,(4x^2+9x+1) =x(x+1)4x^2+9x+1
Tomando xto 0, obtemos
limxto 0f(x) =limxto 0x(x+1)4x^2+9x+1 =0cdot11=0
Porém f(0)=1. Como limxto0f(x)neq f(0), f é descontínua em x=0.

Resposta

f é contínua em todo ponto do seu domínio, exceto em x=0.
Em notação de conjunto de continuidade:
xinRmid xneq 0,;xneqtfrac-9+raiz658,;xneqtfrac-9-raiz658

Exercícios relacionados