Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(x, y)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y, então -\sqrt{2} \leqslant D_{\mathrm{u}} f(x, y) \leqslant \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sin x + \sin y
e pede para verificar se para toda direção unitária \mathbf{u}=(u_1,u_2) vale
-\sqrt{2}\le D_{\mathbf{u}}f(x,y)\le\sqrt{2}.
O conteúdo aqui é derivada direcional, gradiente e desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de f. Lembrando que \partial(\sin x)/\partial x=\cos x e \partial(\sin y)/\partial y=\cos y, temos
\nabla f(x,y) = \bigl(\cos x,\;\cos y\bigr).

Passo 3

Por definição, a derivada direcional de f na direção da unidade \mathbf{u}=(u_1,u_2) é
D_{\mathbf{u}}f(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u} =\cos x\,u_1 + \cos y\,u_2.

Passo 4

Aplicando a desigualdade de Cauchy–Schwarz ao produto escalar, com \|\mathbf{u}\|=1, obtemos
\bigl|\cos x\,u_1 + \cos y\,u_2\bigr| \le \sqrt{u_1^2+u_2^2}\;\sqrt{\cos^2x+\cos^2y} = \sqrt{\cos^2x+\cos^2y}.

Passo 5

Como \cos^2x\le1 e \cos^2y\le1, segue
\cos^2x+\cos^2y\le1+1=2,
logo
\sqrt{\cos^2x+\cos^2y}\le\sqrt{2}.
Portanto
-\sqrt{2}\le \cos x\,u_1 + \cos y\,u_2 \le \sqrt{2},
ou seja,
-\sqrt{2}\le D_{\mathbf{u}}f(x,y)\le\sqrt{2}.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
D_{\mathbf{u}}f(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}
é limitado em módulo por \|\nabla f(x,y)\|, e
\|\nabla f(x,y)\|=\sqrt{\cos^2x+\cos^2y}\le\sqrt{2}.

Exercícios relacionados