Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(x, y)=\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y, então -\sqrt{2} \leqslant D_{\mathrm{u}} f(x, y) \leqslant \sqrt{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sin x + \sin y
e pede para verificar se para toda direção unitária \mathbf{u}=(u_1,u_2) vale
-\sqrt{2}\le D_{\mathbf{u}}f(x,y)\le\sqrt{2}.
O conteúdo aqui é derivada direcional, gradiente e desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente de f. Lembrando que \partial(\sin x)/\partial x=\cos x e \partial(\sin y)/\partial y=\cos y, temos
\nabla f(x,y) = \bigl(\cos x,\;\cos y\bigr).
Passo 3
Por definição, a derivada direcional de f na direção da unidade \mathbf{u}=(u_1,u_2) é