Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(x, y) tem dois máximos locais, então f tem um mínimo local.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “se uma função f(x,y) de duas variáveis tem dois máximos locais, então necessariamente existe também um mínimo local” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis, usando gradiente e Hessiana para distinguir máximos, mínimos e selas.
Passo 2
Para mostrar que a afirmação é falsa, damos um contraexemplo concreto. Considere a função
f(x,y) = -\bigl(x^2 - 1\bigr)^2 \;-\; y^2.
Primeiro, encontramos os pontos críticos resolvendo \nabla f = (0,0).