Encontre o limite.
3. \lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1} e^{x^{3}-x}.
Aqui temos uma composição de funções: o polinômio \varphi(x)=x^3 - x e a função exponencial e^u. Vamos usar que ambos são contínuos, de modo que o limite da composição é a composição dos limites.

Passo 2

Primeiro calculamos
\lim_{x\to1}(x^3 - x).
Como polinômios são contínuos, basta substituir x=1:
\lim_{x\to1}(x^3 - x) = 1^3 - 1 = 0.

Passo 3

Agora aplicamos a continuidade da exponencial. Se u\to0, então
\lim_{u\to0} e^{u} = e^0 = 1.
Logo, usando a propriedade da composição de limites,
\lim_{x\to1} e^{x^3 - x} = e^{\lim_{x\to1}(x^3 - x)} = e^0 = 1.

Resposta

1

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