Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
2. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+6 x-7}{x^{2}+5 x-6}=\frac{\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+6 x-7\right)}{\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+5 x-6\right)}

Passo 1

O enunciado pergunta se vale sempre a identidade
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}+6x-7\bigr)}{\displaystyle\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}+5x-6\bigr)}.
Para usar essa propriedade de separar limite de quociente em quociente de limites, é necessário que o limite do denominador seja diferente de zero. Vamos verificar o que ocorre em x=1.

Passo 2

Calculamos separadamente os limites de numerador e denominador quando x\to1:
\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}+6x-7\bigr) =1^{2}+6\cdot1-7=0,
\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}+5x-6\bigr) =1^{2}+5\cdot1-6=0.
Logo, o denominador tende a zero, e a forma 0/0 impede o uso direto da propriedade de divisão de limites.

Passo 3

Para descobrir o valor real do limite, fatoramos numerador e denominador e simplificamos:
x^{2}+6x-7=(x-1)(x+7),
x^{2}+5x-6=(x-1)(x+6).
Para x\neq1,
\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} =\frac{(x-1)(x+7)}{(x-1)(x+6)} =\frac{x+7}{x+6}.

Passo 4

Agora a função simplificada \frac{x+7}{x+6} é contínua em x=1, então
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+6x-7}{x^{2}+5x-6} =\lim_{x\to1}\frac{x+7}{x+6} =\frac{1+7}{1+6} =\frac{8}{7}.

Resposta

A afirmação é falsa, pois o denominador tende a zero (forma 0/0) e não se pode separar o limite em quociente de limites; o valor correto do limite é \tfrac{8}{7}.

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