Encontre o limite.
9. \lim _{r \rightarrow 9} \frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{r\to9}\frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}.
Aqui o conteúdo é reconhecimento de forma de indeterminação e comportamento de fração cuja parte de baixo tende a zero numa potência par.

Passo 2

Calculamos o limite do numerador:
\lim_{r\to9}\sqrt{r}=\sqrt{9}=3.

Passo 3

Analisamos o denominador: para r\to9, seja h=r-9, então (r-9)^{4}=h^{4}. Como \displaystyle\lim_{h\to0}h^{4}=0 e a potência 4 torna h^{4} sempre não negativa, o denominador tende a zero por valores positivos.

Passo 4

Como o numerador tende a 3 (um número finito não nulo) e o denominador tende a 0^{+}, a fração cresce sem limite. Logo
\lim_{r\to9}\frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}=+\infty.

Resposta

+\infty

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