Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes dadas:
- A variável é
e estamos estudando o comportamento quando . - O numerador é
. - O denominador é
, potência quarta de . - Observação útil: a função está bem definida para
próximos de (em particular para ), então faz sentido falar do limite por ambos os lados de .
Passo 2
Vamos analisar separadamente o comportamento do numerador e do denominador ao aproximar
de
.
- Numerador: a função
é contínua em , portanto
Isto significa que o numerador tende a um número finito e não nulo (
).
- Denominador:
tende a quando , porque e a quarta potência de algo que tende a zero também tende a zero. Além disso, para o valor é sempre positivo (potência de ordem par).
Passo 3
Para deixar o comportamento mais claro, fazemos a substituição
. Então
equivale a
e a expressão fica
Agora analisamos o limite quando
de
.
Passo 4
Como vimos,
quando
. Logo o numerador tende a
enquanto o denominador
tende a
. Isso por si só já indica que a fração tende a infinito em módulo. Para determinar o sinal, observamos que
para todo
, e
é positiva perto de
. Portanto a fração é positiva para
suficientemente próximo de
(por ambos os lados), e o limite deve ser
.
Passo 5
Se você quiser uma justificativa mais rigorosa estilo “desigualdade”: escolha, por exemplo,
. Para esses
temos
, então
Logo, para
,
Mas sabemos que
. Assim a expressão original fica maior do que uma função que vai para
, o que força
Isto usa a ideia de comparar com uma função simples cujo limite é conhecido — técnica útil em provas e em exames.
Passo 6
Conclusão intuitiva e prática para a prova: o numerador tende a
(não anula), o denominador tende a
e é sempre positivo perto de
(por ser quarta potência). Isso significa que a fração cresce sem limite e de forma positiva, portanto o limite é
. Forneça no gabarito simplesmente
.