Encontre o limite.
\lim _{r \rightarrow 9} \frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando r tende a 9 da função
\frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável é r e estamos estudando o comportamento quando r \to 9.
  • O numerador é \sqrt{r}.
  • O denominador é (r-9)^{4}, potência quarta de r-9.
  • Observação útil: a função está bem definida para r próximos de 9 (em particular para r\ge 0), então faz sentido falar do limite por ambos os lados de 9.

Passo 2

Vamos analisar separadamente o comportamento do numerador e do denominador ao aproximar r de 9.
  • Numerador: a função r\mapsto \sqrt{r} é contínua em r=9, portanto
\lim_{r\to 9}\sqrt{r}=\sqrt{9}=3.
Isto significa que o numerador tende a um número finito e não nulo ( 3).
  • Denominador: (r-9)^{4} tende a 0 quando r\to 9, porque r-9\to 0 e a quarta potência de algo que tende a zero também tende a zero. Além disso, para r\neq 9 o valor (r-9)^{4} é sempre positivo (potência de ordem par).

Passo 3

Para deixar o comportamento mais claro, fazemos a substituição h=r-9. Então r\to 9 equivale a h\to 0 e a expressão fica
\frac{\sqrt{r}}{(r-9)^{4}}=\frac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}.
Agora analisamos o limite quando h\to 0 de \dfrac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}.

Passo 4

Como vimos, \sqrt{9+h}\to 3 quando h\to 0. Logo o numerador tende a 3 enquanto o denominador h^{4} tende a 0. Isso por si só já indica que a fração tende a infinito em módulo. Para determinar o sinal, observamos que h^{4}>0 para todo h\neq 0, e \sqrt{9+h} é positiva perto de h=0. Portanto a fração é positiva para h suficientemente próximo de 0 (por ambos os lados), e o limite deve ser +\infty.

Passo 5

Se você quiser uma justificativa mais rigorosa estilo “desigualdade”: escolha, por exemplo, |h|<1. Para esses h temos 9+h\ge 8, então
\sqrt{9+h}\ge \sqrt{8}.
Logo, para 0<|h|<1,
\frac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}\ge \frac{\sqrt{8}}{h^{4}}.
Mas sabemos que \lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{8}}{h^{4}}=+\infty. Assim a expressão original fica maior do que uma função que vai para +\infty, o que força
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9+h}}{h^{4}}=+\infty.
Isto usa a ideia de comparar com uma função simples cujo limite é conhecido — técnica útil em provas e em exames.

Passo 6

Conclusão intuitiva e prática para a prova: o numerador tende a 3 (não anula), o denominador tende a 0 e é sempre positivo perto de 9 (por ser quarta potência). Isso significa que a fração cresce sem limite e de forma positiva, portanto o limite é +\infty. Forneça no gabarito simplesmente +\infty.

Resposta

+\infty

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