Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se f(1)>0 e f(3)<0, então existe um número c entre 1 e 3 tal que f\text{(c)}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: f(1)>0 e f(3)<0.
A pergunta é: existe um número c entre 1 e 3 (ou seja, c\in(1,3)) tal que f\text{(c)}=0? Ou, de forma direta: a afirmação "se f(1)>0 e f(3)<0 então existe c\in(1,3) com f\text{(c)}=0" é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Observação importante (aqui eu explico algo que costuma ser a armadilha): o enunciado não diz nada sobre continuidade de f. Isso é essencial — muitas propriedades sobre valores intermediários exigem continuidade. Sem assumir continuidade, a afirmação pode falhar. Vou mostrar um contraexemplo explícito.

Passo 3

Construção do contraexemplo (função simples e óbvia que tem salto): defina f:[1,3]\to\mathbb{R}\) por \[f(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x<2,\\[4pt] -1, & \text{se } x\ge 2. \end{cases}
Verificações:
  • Peguei a definição inteira da função como peça por peça acima.
  • Então f(1)=1>0\] e \(f(3)=-1<0, que é exatamente o que o enunciado exige.
  • Para todo x\in[1,3] a imagem f(x) vale apenas 1 ou -1. Logo f(x)\neq 0 para todo x\in[1,3]. Em particular não existe c\in(1,3) com f\text{(c)}=0.
Portanto este exemplo mostra a afirmação original é falsa (pois satisfaz as hipóteses mas não a conclusão).]

Passo 4

Explicação didática do porquê a continuidade faz a diferença (a ideia certa que aparece em provas): se, além de f(1)>0 e f(3)<0, tivéssemos a hipótese extra de que f é contínua em [1,3], então a afirmação seria verdadeira. Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário. Vou explicar o que é continuidade e dar uma prova amigável do teorema.

Passo 5

O que é continuidade (explicação simples): dizer que f é contínua em um ponto x_0 significa, intuitivamente, que valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de f(x_0) sempre que x fica suficientemente próximo de x_0. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se |x-x_0|<\delta então |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Em provas, usamos essa propriedade para controlar o sinal de f perto de pontos onde sabemos o sinal.

Passo 6

Prova do caso contínuo (passo a passo estilo prova que aparece em provas): suponha f é contínua em [1,3] e f(1)>0, f(3)<0. Defina o conjunto
S=\{x\in[1,3]\mid f(x)>0\}.
  • Temos 1\in S, logo S não é vazio. Além disso S\subset[1,3] é limitado superiormente por 3, então existe c=\sup S (o supremo de S), com c\in[1,3].
  • Quero mostrar f\text{(c)}=0. Há três possibilidades para f\text{(c)}: ser >0, <0 ou =0.
    • Se f\text{(c)}>0: pela continuidade existe \delta>0 tal que para todo x com |x-c|<\delta temos f(x)>0. Em particular existem pontos x>c com f(x)>0, o que contradiz o fato de c ser o menor limite superior de S. Logo não pode ser f\text{(c)}>0.
    • Se f\text{(c)}<0: pela continuidade existe \delta>0 tal que para todo x com |x-c|<\delta temos f(x)<0. Mas pela definição de supremo existem pontos x\in S arbitrariamente próximos e menores que c; logo para esses x deveríamos ter f(x)>0, o que contradiz o fato de que em (c-\delta,c) todos os valores são negativos. Assim não pode ser f\text{(c)}<0.
    • Portanto deve ser f\text{(c)}=0.
  • Conclusão: existe c\in[1,3] tal que f\text{(c)}=0. Como f(1)>0 e f(3)<0, esse c é necessariamente interior, isto é c\in(1,3).
Esse argumento é a forma padrão do Teorema do Valor Intermediário aplicado ao caso de mudança de sinal.

Passo 7

Resumo final da lição (ponto prático para prova): a afirmação dada, sem informação sobre continuidade, é falsa — basta apresentar uma função com salto que vai de positivo a negativo sem passar por zero. Mas se na prova for dado que f é contínua em [1,3], aí sim a conclusão é verdadeira e a justificativa é exatamente o Teorema do Valor Intermediário (prova via supremo como mostrei).

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados