Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falso.
Se
e
, então existe um número
entre 1 e 3 tal que
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
e
.
A pergunta é: existe um número entre
e
(ou seja,
) tal que
? Ou, de forma direta: a afirmação "se
e
então existe
com
" é verdadeira ou falsa?
A pergunta é: existe um número
Passo 2
Observação importante (aqui eu explico algo que costuma ser a armadilha): o enunciado não diz nada sobre continuidade de
. Isso é essencial — muitas propriedades sobre valores intermediários exigem continuidade. Sem assumir continuidade, a afirmação pode falhar. Vou mostrar um contraexemplo explícito.
Passo 3
Construção do contraexemplo (função simples e óbvia que tem salto): defina
Verificações:
- Peguei a definição inteira da função como peça por peça acima.
- Então , que é exatamente o que o enunciado exige.
- Para todo
a imagem vale apenas ou . Logo para todo . Em particular não existe com .
Portanto este exemplo mostra a afirmação original é falsa (pois satisfaz as hipóteses mas não a conclusão).]
Passo 4
Explicação didática do porquê a continuidade faz a diferença (a ideia certa que aparece em provas): se, além de
e
, tivéssemos a hipótese extra de que
é contínua em
, então a afirmação seria verdadeira. Esse resultado é o Teorema do Valor Intermediário. Vou explicar o que é continuidade e dar uma prova amigável do teorema.
Passo 5
O que é continuidade (explicação simples): dizer que
é contínua em um ponto
significa, intuitivamente, que valores de
ficam arbitrariamente próximos de
sempre que
fica suficientemente próximo de
. Formalmente: para todo
existe
tal que se
então
. Em provas, usamos essa propriedade para controlar o sinal de
perto de pontos onde sabemos o sinal.
Passo 6
Prova do caso contínuo (passo a passo estilo prova que aparece em provas): suponha
é contínua em
e
,
. Defina o conjunto
- Temos
, logo não é vazio. Além disso é limitado superiormente por , então existe (o supremo de ), com . - Quero mostrar
. Há três possibilidades para : ser , ou . - Se
: pela continuidade existe tal que para todo com temos . Em particular existem pontos com , o que contradiz o fato de ser o menor limite superior de . Logo não pode ser . - Se
: pela continuidade existe tal que para todo com temos . Mas pela definição de supremo existem pontos arbitrariamente próximos e menores que ; logo para esses deveríamos ter , o que contradiz o fato de que em todos os valores são negativos. Assim não pode ser . - Portanto deve ser
.
- Se
- Conclusão: existe
tal que . Como e , esse é necessariamente interior, isto é .
Esse argumento é a forma padrão do Teorema do Valor Intermediário aplicado ao caso de mudança de sinal.
Passo 7
Resumo final da lição (ponto prático para prova): a afirmação dada, sem informação sobre continuidade, é falsa — basta apresentar uma função com salto que vai de positivo a negativo sem passar por zero. Mas se na prova for dado que
é contínua em
, aí sim a conclusão é verdadeira e a justificativa é exatamente o Teorema do Valor Intermediário (prova via supremo como mostrei).
Resposta
Falsa.