Verifique se as funções a seguir possuem pelo menos uma raiz real no intervalo especificado. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a função
possui pelo menos uma raiz real no intervalo dado e justificar a resposta.
Dados fornecidos: a função
Dados fornecidos: a função
e o intervalo
.
Pergunta explícita: existe pelo menos um tal que
?
Pergunta explícita: existe pelo menos um
Passo 2
Escolha do método (explicado de forma simples): vamos usar um resultado que diz o seguinte (vou explicar bem devagar): se uma função é contínua num intervalo fechado
e assume valores de sinais opostos em
e em
(ou seja,
), então ela atinge o valor
em algum ponto interno
. A ideia por trás disso é intuitiva: uma função contínua não “pula” valores, então se ela vai de positivo a negativo tem que passar por zero em algum lugar.
Neste problema vamos verificar a continuidade de em
e mostrar que
e
têm sinais opostos; daí o resultado segue.
Neste problema vamos verificar a continuidade de
Passo 3
Mostrar que
é contínua em
:
- A função
é contínua em toda a reta. - As funções
e são polinomiais, logo contínuas em toda a reta. - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Portantoé contínua em .
Passo 4
Calcular o sinal de
:
Agora,
(radiano) pertence ao intervalo
, e em
temos
. Logo
, portanto
(Resumo: não precisei de calculadora — basta saber que seno é positivo entre
e
.)
Passo 5
Calcular o sinal de
:
Sabemos que
(o seno nunca ultrapassa
). Assim
Portanto
.
Passo 6
Aplicar o resultado do Passo 2 (interpretação didática): já temos que
é contínua em
, que
e que
. Como os sinais em
e
são opostos, pela propriedade explicada (função contínua que troca de sinal num intervalo), existe pelo menos um ponto
tal que
Isto prova que há pelo menos uma raiz real no intervalo pedido.
Passo 7
Observação final rápida (para a prova): esta demonstração garante a existência de pelo menos uma raiz; não diz quantas raízes existem nem onde exatamente ela fica. Se for preciso saber unicidade ou aproximar a raiz, seriam necessários passos adicionais (por exemplo, estudar
e comportamento monotônico ou usar métodos numéricos). Mas para esta pergunta — existência — o que fizemos já é suficiente.
Resposta
Sim: existe pelo menos uma raiz real em
.