Verifique se as funções a seguir possuem pelo menos uma raiz real no intervalo especificado. Justifique sua resposta.
f(x)=\sin x-x^{2}+x,(1,2)

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a função f possui pelo menos uma raiz real no intervalo dado e justificar a resposta.
Dados fornecidos: a função
f(x)=\sin x - x^{2} + x
e o intervalo (1,2).
Pergunta explícita: existe pelo menos um c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=0?

Passo 2

Escolha do método (explicado de forma simples): vamos usar um resultado que diz o seguinte (vou explicar bem devagar): se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b] e assume valores de sinais opostos em a e em b (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então ela atinge o valor 0 em algum ponto interno (a,b). A ideia por trás disso é intuitiva: uma função contínua não “pula” valores, então se ela vai de positivo a negativo tem que passar por zero em algum lugar.
Neste problema vamos verificar a continuidade de f em [1,2] e mostrar que f(1) e f(2) têm sinais opostos; daí o resultado segue.

Passo 3

Mostrar que f é contínua em [1,2]:
  • A função x\mapsto \sin x é contínua em toda a reta.
  • As funções x\mapsto x^{2} e x\mapsto x são polinomiais, logo contínuas em toda a reta.
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
    Portanto f(x)=\sin x - x^{2} + x é contínua em [1,2].

Passo 4

Calcular o sinal de f(1):
f(1)=\sin 1 - 1^{2} + 1 = \sin 1.
Agora, 1 (radiano) pertence ao intervalo (0,\pi), e em (0,\pi) temos \sin x>0. Logo \sin 1>0, portanto
f(1)>0.
(Resumo: não precisei de calculadora — basta saber que seno é positivo entre 0 e \pi.)

Passo 5

Calcular o sinal de f(2):
f(2)=\sin 2 - 2^{2} + 2 = \sin 2 - 2.
Sabemos que \sin 2 \le 1 (o seno nunca ultrapassa 1). Assim
f(2)=\sin 2 - 2 \le 1 - 2 = -1.
Portanto f(2)<0.

Passo 6

Aplicar o resultado do Passo 2 (interpretação didática): já temos que f é contínua em [1,2], que f(1)>0 e que f(2)<0. Como os sinais em 1 e 2 são opostos, pela propriedade explicada (função contínua que troca de sinal num intervalo), existe pelo menos um ponto c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0.
Isto prova que há pelo menos uma raiz real no intervalo pedido.

Passo 7

Observação final rápida (para a prova): esta demonstração garante a existência de pelo menos uma raiz; não diz quantas raízes existem nem onde exatamente ela fica. Se for preciso saber unicidade ou aproximar a raiz, seriam necessários passos adicionais (por exemplo, estudar f'(x) e comportamento monotônico ou usar métodos numéricos). Mas para esta pergunta — existência — o que fizemos já é suficiente.

Resposta

Sim: existe pelo menos uma raiz real em (1,2).

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