Esboce a regiāo no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condiçōes dadas.
0 \leqslant r<2, \pi \leqslant \theta \leqslant 3 \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede: esboçar a região no plano formada pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem
0 \leqslant r<2,\quad \pi \leqslant \theta \leqslant \tfrac{3\pi}{2}.
Informações dadas:
\text{(i) }r\text{ varia de }0\text{ até }2\text{, com }r=2\text{ excluído (}r<2\text{);}\\\ \text{(ii) }\theta\text{ varia de }\pi\text{ até }\tfrac{3\pi}{2}\text{, com ambas as extremidades incluídas.}éíéí

Passo 2

Lembrete prático (fórmula de conversão): coordenadas polares e cartesianas ligam-se por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Da condição r<2 obtemos, usando x^2+y^2=r^2,
x^2+y^2 < 4.
Isto significa que todos os pontos estão no interior do círculo de raio 2 centrado na origem (o círculo de raio 2 em si, com r=2, é excluído).

Passo 3

Agora olhamos para o intervalo de \theta:
\pi \leqslant \theta \leqslant \tfrac{3\pi}{2}.
Para ângulos nesse intervalo sabemos que \cos\theta \leqslant 0 e \sin\theta \leqslant 0. Portanto, para qualquer r\ge 0 com esses \theta temos
x = r\cos\theta \leqslant 0,\qquad y = r\sin\theta \leqslant 0.
Ou seja, todos os pontos estão no terceiro quadrante (incluindo os eixos negativos, porque as extremidades \theta=\pi e \theta=\tfrac{3\pi}{2} estão incluídas).

Passo 4

Combine as duas informações: a região é o conjunto de pontos que satisfazem
x^2+y^2<4\quad\text{e}\quad x\leqslant 0,\;y\leqslant 0.
Interpretação geométrica: é o setor de ângulo \tfrac{\pi}{2} (um quarto de disco) situado no terceiro quadrante, com distância ao centro menor que 2. O arco do círculo de raio 2 (a curva x^2+y^2=4 para \pi\le\theta\le3\pi/2) está excluído porque r<2. As duas arestas radiais (os segmentos sobre os eixos negativos) estão incluídas porque os valores de \theta nos extremos são permitidos.

Passo 5

Verificação com exemplos (para entender melhor):
  • Tome \,r=1,\;\theta=\pi. Então (x,y)=(-1,0). Está na região (eixo x negativo, distância 1<2).
  • Tome \,r=1,\;\theta=\tfrac{3\pi}{2}. Então (x,y)=(0,-1). Está na região (eixo y negativo).
  • Tome \,r=1,\;\theta=\tfrac{5\pi}{4}. Então (x,y)=\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2},-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr). Está no interior do terceiro quadrante e dentro do círculo de raio 2.

Passo 6

Como esboçar no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhe o círculo de raio 2 centrado na origem (linha contínua para referência).
  2. Marque o terceiro quadrante (entre \theta=\pi e \theta=\tfrac{3\pi}{2}).
  3. Sombreie a parte do interior do círculo que está no terceiro quadrante, desde a origem até, mas sem incluir, o arco do círculo de raio 2.
  4. Desenhe e mantenha como incluídos os dois segmentos radiais ao longo do eixo x negativo e eixo y negativo para 0\le r<2.
  5. Indique que a borda circular (o arco a distância 2) está excluída (por exemplo, trace-a com uma linha pontilhada).

Resposta

\{(x,y)\mid x^2+y^2<4,\;x\leqslant 0,\;y\leqslant 0\} (um quarto do disco de raio 2 no terceiro quadrante; o arco r=2 é excluído; as arestas radiais em \theta=\pi e \theta=\tfrac{3\pi}{2} para 0\le r<2 são incluídas).

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