Esboce a regiāo no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condiçōes dadas.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar a região no plano formada pelos pontos cujas coordenadas polares satisfazem
Informações dadas:
Passo 2
Lembrete prático (fórmula de conversão): coordenadas polares e cartesianas ligam-se por
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Da condição
obtemos, usando
,
Isto significa que todos os pontos estão no interior do círculo de raio
centrado na origem (o círculo de raio
em si, com
, é excluído).
Passo 3
Agora olhamos para o intervalo de
:
Para ângulos nesse intervalo sabemos que
e
. Portanto, para qualquer
com esses
temos
Ou seja, todos os pontos estão no terceiro quadrante (incluindo os eixos negativos, porque as extremidades
e
estão incluídas).
Passo 4
Combine as duas informações: a região é o conjunto de pontos que satisfazem
Interpretação geométrica: é o setor de ângulo
(um quarto de disco) situado no terceiro quadrante, com distância ao centro menor que
. O arco do círculo de raio
(a curva
para
) está excluído porque
. As duas arestas radiais (os segmentos sobre os eixos negativos) estão incluídas porque os valores de
nos extremos são permitidos.
Passo 5
Verificação com exemplos (para entender melhor):
- Tome
. Então . Está na região (eixo negativo, distância ). - Tome
. Então . Está na região (eixo negativo). - Tome
. Então . Está no interior do terceiro quadrante e dentro do círculo de raio .
Passo 6
Como esboçar no papel (passo a passo prático):
- Desenhe o círculo de raio
centrado na origem (linha contínua para referência). - Marque o terceiro quadrante (entre
e ). - Sombreie a parte do interior do círculo que está no terceiro quadrante, desde a origem até, mas sem incluir, o arco do círculo de raio
. - Desenhe e mantenha como incluídos os dois segmentos radiais ao longo do eixo
negativo e eixo negativo para . - Indique que a borda circular (o arco a distância
) está excluída (por exemplo, trace-a com uma linha pontilhada).